Aufgabe B3 (c) - Längen, Winkel und Abstände im R… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Beim Secret Sharing wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse zerlegt und an mehrere Personen verteilt, sodass die Verantwortung auf mehrere Schultern verteilt ist. Dies ist z. B. bei einem geheimen Code zum Öffnen eines Tresors sinnvoll: Er soll nicht einer einzelnen Person bekannt sein, sondern nur von mehreren Personen zusammen bestimmt werden können.

Ein solches Verfahren lässt sich in Unternehmen z. B. geometrisch umsetzen. Dabei können Mitarbeitende, die die erforderlichen Teilgeheimnisse kennen, den geheimen Code bestimmen, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eintragen, das daraus geometrische Probleme löst.

Zur Vereinfachung soll der geheime Code im Folgenden stets aus drei Ziffern bestehen.

Dem Computersystem ist die Gerade $g$ bekannt:

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$$

Die Punkte $A(0|-3|-1)$, $B(4|2|1)$ und $C(1|-1|-1)$ liegen in einer Ebene $H$. Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils die Koordinaten eines dieser Punkte als Teilgeheimnis. Den geheimen Code bilden die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ von $g$ und $H$.

Für $a \in \mathbb{R}$ sei die Gerade $h_a$ gegeben durch:

$$h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3a \\ -7 \\ a \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$$

Der geheime Code besteht aus den Koordinaten des Schnittpunktes $S(5|1|3)$ der Geraden $g$ und $h_a$.

c) Eine andere Firma nutzt als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der nicht gerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{IJ}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, dessen Basis $\overline{IJ}$ ist.

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen jeweils als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $IJK$, nämlich $I(4|3|2)$, $J(8|6|-1)$ und $K(6|5|1)$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Punkte $I$, $J$ und $K$ ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{IJ}$ bilden. [2 Punkte]

(2)

Berechnen Sie den geheimen Code des Unternehmens. [3 Punkte]

(3)

Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $IJL$ mit der Basis $\overline{IJ}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I$, $J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in c) (2) berechnete geheime Code ergeben.

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines passenden Punktes $L$. [2 Punkte]