Exercício 10 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2024

Tema: Derivadas e estudo de funções · Do exame 2.ª fase (2024)

Enunciado

Seja ff uma função, de domínio R+\mathbb{R}^+, duas vezes diferenciável.

Relativamente à função ff, sabe-se que:

a função f′f', derivada da função ff, é estritamente crescente no intervalo ]0,+∞[]0, +\infty[;

f′(1)=2f'(1) = 2.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função ff pode ter concavidade voltada para baixo em R+\mathbb{R}^+.

II. No intervalo ]1,5[]1, 5[, a função ff tem, pelo menos, um extremo.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

Enunciado: Exercício 10 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2024

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Justificar a falsidade da proposição I: O gráfico da função f pode ter concavidade voltada para baixo em R+.

Resposta: Como a função f é duas vezes diferenciável em R+ e f' é estritamente crescente no intervalo ]0, +∞[, a função f'' será sempre não negativa nesse intervalo (ou f' é estritamente crescente, logo a concavidade é voltada para cima), pelo que, em R+, o gráfico da função f não pode ter concavidade voltada para baixo.

Justificar a falsidade da proposição II: No intervalo ]1, 5[, a função f tem, pelo menos, um extremo.

Resposta: Como f'(1) = 2 > 0 e f' é estritamente crescente em ]0, +∞[, para todo o x em ]1, 5[ tem-se f'(x) > 2 > 0. Não existe qualquer zero de f' no intervalo ]1, 5[, logo, sendo f diferenciável, não pode existir qualquer extremo da função f nesse intervalo.

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