Exercício 10 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2024

10. Na Figura 4, está representada uma caixa que vai ser puxada ao longo de um plano horizontal, com recurso a uma haste rígida.

Figura 4

Nesta figura, o segmento de reta $[AB]$ representa a haste rígida, o ponto $A$ representa o ponto em que a haste está fixada à caixa, e o ponto $B$ representa o ponto em que vai ser exercida a força que permite deslocar a caixa.

Seja $\theta$ a amplitude, em radianos, do ângulo que a força faz com a horizontal $\left(\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[\right)$.

Admita que, para cada valor de $\theta$, a intensidade mínima da força a aplicar no ponto $B$, para que se inicie o movimento da caixa, é dada, em newton, por

$$F(\theta) = \frac{4095}{5\operatorname{sen}\theta + 12\cos\theta}$$

Existem dois valores distintos de $\theta$ aos quais corresponde a mesma intensidade mínima da força, em newton, a aplicar no ponto $B$, para que se inicie o movimento da caixa.

Sabe-se que um desses valores é o dobro do outro.

Seja $\theta_1$ o menor desses valores $\left(\theta_1 \in \left]0, \frac{\pi}{4}\right[\right)$.

Determine, recorrendo à calculadora, o valor de $\theta_1$.

Apresente o resultado em radianos, arredondado às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

– apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

– represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permite(m) resolver a equação.

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