Exame Nacional Matemática A 2024 · 1.ª fase

Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$ e contradomínio $[-1, 3]$.

Qual é o contradomínio da função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x) = f(x - 2) + 1$?

()

2. Uma orquestra está a realizar audições para novos instrumentistas.

2.1. No primeiro dia das audições, participaram apenas candidatos a flautistas e a violinistas.

Sabe-se que:

$\dfrac{3}{5}$ dos candidatos eram violinistas;

o número de candidatos estrangeiros era igual ao número de candidatos portugueses;

$\dfrac{3}{10}$ dos candidatos estrangeiros eram flautistas.

Seleciona-se, ao acaso, um dos candidatos que participaram no primeiro dia das audições.

Determine a probabilidade de esse candidato ser português, sabendo-se que é violinista.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2. Uma orquestra está a realizar audições para novos instrumentistas.

2.2. Enquanto aguardam as audições, quatro violinistas, um violoncelista e três contrabaixistas vão sentar-se nas duas primeiras filas de uma plateia, tendo cada fila quatro lugares numerados de 1 a 4.

Qual das expressões seguintes representa o número de maneiras diferentes de dispor os oito músicos, ficando os três contrabaixistas numa fila?

()

2. Uma orquestra está a realizar audições para novos instrumentistas.

2.3. Para se preparar para a audição de violino, a Constança praticou durante $m$ dias.

Sabe-se que a Constança praticou:

em cada dia, exceto no primeiro, sempre mais $10$ minutos do que no dia anterior;

$60$ minutos no quarto dia;

$2970$ minutos no total dos $m$ dias.

Determine o valor de $m$.

Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma reto $[ABCDEFGH]$, de bases $[ABCD]$ e $[EFGH]$.

Figura 1

Sabe-se que:

as bases do prisma são trapézios retângulos;

o ponto $A$ tem coordenadas $(4, -4, -3)$, e o ponto $B$ tem a ordenada igual ao dobro da abcissa;

uma equação da reta $BC$ é $(x, y, z) = (3, 5, 1) + k(2, 3, 6), \quad k \in \mathbb{R}$.

3.1.

Qual das equações seguintes é uma equação do plano $ABF$?

()

3.2.

Determine, sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, a amplitude do ângulo convexo $AOB$.

Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.

°

Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma reto $[ABCDEFGH]$, de bases $[ABCD]$ e $[EFGH]$.

Figura 1

Sabe-se que:

as bases do prisma são trapézios retângulos;

o ponto $A$ tem coordenadas $(4, -4, -3)$, e o ponto $B$ tem a ordenada igual ao dobro da abcissa;

uma equação da reta $BC$ é $(x, y, z) = (3, 5, 1) + k(2, 3, 6), \quad k \in \mathbb{R}$.

3.3.

Selecionam-se, ao acaso, dois vértices de cada uma das bases do prisma.

Determine a probabilidade de os quatro vértices selecionados não pertencerem a uma mesma face lateral do prisma.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine o conjunto dos números reais que verificam a condição $\ln^2 x - \ln x - 2 < 0$.

Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de reunião de intervalos de números reais.

Considere, para um certo valor de $k$ real, a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{1-x}{e^{x-1} - 1} - e^{x-k} & \text{se } x < 1 \\ x^2 - 3x - 2\ln x & \text{se } x \ge 1 \end{cases}$$

Resolva os itens 5.1. e 5.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

5.1. Estude, no intervalo $]1, +\infty[$, a função $g$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

$x =$

Considere, para um certo valor de $k$ real, a função $g$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{1-x}{e^{x-1} - 1} - e^{x-k} & \text{se } x < 1 \\ x^2 - 3x - 2\ln x & \text{se } x \ge 1 \end{cases}$$

Resolva os itens 5.1. e 5.2. sem recorrer à calculadora.

5.2. Sabe-se que a função $g$ é contínua em $x = 1$.

Determine o valor de $k$.

$k =$

6. O gráfico da Figura 2 apresenta a distribuição das classificações finais, em valores, na disciplina de Português, dos 20 alunos de uma turma.

Figura 2

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados no gráfico da Figura 2.

Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

Na turma, há

alunos com classificação final inferior a 13 valores na disciplina de Português.

A mediana da distribuição das classificações finais na disciplina de Português é

valores.

A classificação média final na disciplina de Português é

valores, e o desvio padrão desta distribuição, arredondado às décimas, é

valores.

7. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, definida por

$$f(x) = \frac{1 - \cos x}{x^4}$$ Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico e, caso existam, escreva as respetivas equações.

8. Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$.

Sabe-se que:

para qualquer número real $a$, $a \neq 2$, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$;

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$, com $f(2) > 0$, e $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$;

$f(1) \times f(3) < 0$.

Considere as proposições seguintes:

I. O teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a função $f$ tem, pelo menos, um zero no intervalo $]1, 3[$.

II. A reta de equação $x = 2$ é assíntota ao gráfico da função $\frac{1}{f}$.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

9. Na Figura 3, estão representadas, em referencial o.n. $xOy$, a circunferência de centro em $O$ e raio $2$ e uma região sombreada composta pelo trapézio $[OBCD]$, retângulo em $C$ e em $D$, e pelo sector circular correspondente ao ângulo orientado $AOB$, de amplitude $\alpha$, em radianos, com $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, e raio $\overline{OA}$.

Figura 3

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence à circunferência e ao semieixo positivo $Ox$;

os pontos $B$ e $C$ pertencem à circunferência, sendo $C$ o simétrico de $B$, em relação ao eixo $Oy$.

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de $\alpha$, pela expressão

$$2\alpha + 3\operatorname{sen}(2\alpha)$$

10. Na Figura 4, está representada uma caixa que vai ser puxada ao longo de um plano horizontal, com recurso a uma haste rígida.

Figura 4

Nesta figura, o segmento de reta $[AB]$ representa a haste rígida, o ponto $A$ representa o ponto em que a haste está fixada à caixa, e o ponto $B$ representa o ponto em que vai ser exercida a força que permite deslocar a caixa.

Seja $\theta$ a amplitude, em radianos, do ângulo que a força faz com a horizontal $\left(\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[\right)$.

Admita que, para cada valor de $\theta$, a intensidade mínima da força a aplicar no ponto $B$, para que se inicie o movimento da caixa, é dada, em newton, por

$$F(\theta) = \frac{4095}{5\operatorname{sen}\theta + 12\cos\theta}$$

Existem dois valores distintos de $\theta$ aos quais corresponde a mesma intensidade mínima da força, em newton, a aplicar no ponto $B$, para que se inicie o movimento da caixa.

Sabe-se que um desses valores é o dobro do outro.

Seja $\theta_1$ o menor desses valores $\left(\theta_1 \in \left]0, \frac{\pi}{4}\right[\right)$.

Determine, recorrendo à calculadora, o valor de $\theta_1$.

Apresente o resultado em radianos, arredondado às centésimas.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

– apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

– represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permite(m) resolver a equação.

rad

11. Na Figura 5, está representado, no plano complexo, o triângulo $[ABC]$, cujos vértices pertencem à circunferência de raio $2$ centrada na origem do referencial, sendo o ponto $A$ pertencente ao semieixo imaginário negativo.

Figura 5

Os pontos $A$, $B$ e $C$ são os afixos das raízes cúbicas de um certo número complexo, $w$.

Em qual das seguintes opções se apresenta $w$, escrito na forma trigonométrica?

()

12. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere o número complexo $z = \dfrac{4}{1+i} - \dfrac{2}{i^7}$.

Determine o número complexo $w$ tal que o número complexo $z \times w$ tenha módulo $5\sqrt{2}$ e afixo pertencente à bissetriz do terceiro quadrante.

Apresente $w$ na forma $a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$.

13. Para certos valores reais de $b$ e de $m$, não nulos, a reta de equação $y = mx + 1$ é tangente ao gráfico da função quadrática definida por $f(x) = 2x^2 + bx + 5$ num ponto cuja abcissa é positiva.

Determine a abcissa desse ponto.