Exame Nacional Matemática A 2024 · Época especial

1. Seja $(u_n)$ a sucessão definida por

$$\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = 2u_n + 2, \ \forall n \in \mathbb{N} \end{cases}$$

Qual é o terceiro termo da sucessão $(u_n)$?

()

2. Usando cartões numerados, construiu-se uma figura, com forma triangular, constituída pelas $n$ primeiras linhas do triângulo de Pascal.

Na Figura 1, estão representadas as cinco primeiras linhas dessa construção.

Figura 1

2.1. Uma das linhas dessa construção contém, exatamente, 19 cartões.

Qual é o número inscrito no quarto cartão dessa linha?

()

2. Usando cartões numerados, construiu-se uma figura, com forma triangular, constituída pelas $n$ primeiras linhas do triângulo de Pascal.

Na Figura 1, estão representadas as cinco primeiras linhas dessa construção.

Figura 1

2.2. Calcule o valor de $n$, sabendo que, na construção da figura, foram utilizados, exatamente, 3081 cartões.

Seja $f$ a função, de domínio $\left]-2\pi, 2\pi\right]$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^{6x}}{3x} & \text{se } -2\pi < x < 0 \\ \\ \dfrac{4\cos x}{\operatorname{sen} x - 2} & \text{se } 0 \le x \le 2\pi \end{cases}$$

Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.

3.1. Averigue se a função $f$ é contínua em $x = 0$.

Seja $f$ a função, de domínio $\left]-2\pi, 2\pi\right]$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^{6x}}{3x} & \text{se } -2\pi < x < 0 \\ \\ \dfrac{4\cos x}{\operatorname{sen} x - 2} & \text{se } 0 \le x \le 2\pi \end{cases}$$

Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.

3.2. Estude, no intervalo $\left]0, 2\pi\right]$, a função $f$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e os valores de $x$ para os quais a função $f$ tem extremos relativos.

4. Um saco contém apenas bolas amarelas e bolas verdes, todas indistinguíveis ao tato.

4.1. Retiram-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco.

Sejam $A$ e $B$ os acontecimentos:

$A$: «A primeira bola retirada é amarela»;

$B$: «A segunda bola retirada é amarela».

Sabe-se que $P(A \cap B) = \frac{2}{3} P(A)$.

Justifique que, inicialmente, existia um número ímpar de bolas amarelas no saco.

4. Um saco contém apenas bolas amarelas e bolas verdes, todas indistinguíveis ao tato.

4.2. Considere que se alterou a constituição inicial do saco e que, neste, estão agora duzentas bolas indistinguíveis ao tato.

Sabe-se que $49\%$ das bolas são verdes.

Extraem-se, ao acaso, quatro bolas do saco.

Determine a probabilidade de o conjunto formado por essas quatro bolas conter, pelo menos, três bolas verdes.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas.

5. Na Figura 2, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, um cone reto de vértice $V$.

Figura 2

Sabe-se que:

a base do cone intersecta o semieixo positivo $Ox$ no ponto $A$ e o semieixo positivo $Oy$ no ponto $B$;

o segmento de reta $[AB]$ é um diâmetro da base do cone;

a base do cone está contida no plano definido pela equação $x + 2y - 8 = 0$;

a abcissa do ponto $V$ tem menos uma unidade do que a sua ordenada.

5.1.

Qual das seguintes equações define um plano paralelo ao plano que contém a base do cone e que passa no ponto de coordenadas $(1, -3, 5)$?

5.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine as coordenadas do ponto $V$.

$($

$,$

$,$

$)$

Uma empresa tem 50 funcionários, dos quais 12 são da área comercial e os restantes são da área de produção.

A distribuição dos vencimentos, em euros, dos funcionários da área de produção tem média 1010, desvio padrão 62,71 e mediana 900.

Na tabela seguinte, estão representados os vencimentos, em euros, dos 12 funcionários da área comercial.

Vencimento (em euros)

Número de funcionários (área comercial)

910 · 2

920 · 2

940 · 3

960 · 2

980 · 2

1100 · 1

Nenhum dos funcionários da empresa tem vencimento igual a 900 euros.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

A mediana dos vencimentos dos funcionários da área comercial é

euros, e o vencimento médio dos funcionários desta área é

ao vencimento médio dos funcionários da área de produção.

A dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área de produção é

à dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área comercial.

A percentagem de funcionários da empresa com vencimento menor do que 900 euros é

.

7. Na Figura 3, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, o quadrilátero $[ABCD]$ e a circunferência de centro em $O$ e raio $4$.

Sabe-se que:

o segmento de reta $[AC]$ é um diâmetro da circunferência;

$\alpha$ é a inclinação, em radianos, da reta $AC$ $\left(\alpha \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right]\right)$;

o ponto $B$ pertence ao semieixo negativo $Ox$, e o ponto $D$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;

as retas $AB$ e $CD$ são paralelas ao eixo $Oy$.

Figura 3

Mostre que a área do quadrilátero $[ABCD]$ é dada pela expressão $-16\operatorname{sen}(2\alpha)$.

8. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $a$ um número real maior do que $1$, e seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = ax^3 + x - 2$.

Mostre que a função $f$ tem, pelo menos, um zero no intervalo $]0, 1[$.

9. Resolva, em $\mathbb{R}$, sem recorrer à calculadora, a equação

$$\frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 \sqrt{x+1} = -1$$

$x =$

10. Admita que, nos primeiros quinze minutos de uma reação química entre duas substâncias, a massa, $m$, de uma das substâncias, medida em gramas, é dada, $t$ minutos após o início da reação, por

$$m(t) = \frac{1764}{1 - 0{,}16e^{-0{,}42t}}, \quad \text{com } 0 \le t \le 15$$

No primeiro minuto da reação, existe um instante $a$ para o qual se verifica que, no intervalo de tempo $[a, 3a]$, a massa dessa substância diminui $5\%$.

Determine, recorrendo à calculadora, a amplitude desse intervalo.

Apresente o resultado em minutos e segundos, com arredondamento ao segundo.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

min s

11. Na Figura 4, estão representadas, em referencial o.n. $Oxy$, parte do gráfico da função $f$, diferenciável, de domínio $\mathbb{R}$, a reta $r$, tangente ao gráfico de $f$ na origem do referencial, e a reta $s$, assíntota ao gráfico de $f$ quando $x$ tende para $+\infty$.

Figura 4

Sabe-se que:

$I$ é o ponto de intersecção das retas $r$ e $s$ e pertence ao $4.^{\circ}$ quadrante;

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \times \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = -\frac{8}{9}$.

Considere as proposições seguintes.

I. $f'(0) > 0$.

II. As retas $r$ e $s$ são perpendiculares.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

12. Na Figura 5, está representado, no plano complexo, o losango $[ABCD]$, com $\overline{AB} = 5$.

Figura 5

Os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ são os afixos dos números complexos $z_1$, $z_2$, $z_3$ e $z_4$, respetivamente.

Sabe-se que:

$z_1$ e $z_3$ são números reais e $|z_1 - z_3| = 6$;

$z_2$ e $z_4$ são imaginários puros.

Qual dos seguintes números complexos é igual a $z_2 \times z_4$?

()

13. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, um número $z = 2e^{i\theta}$, com $\theta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$.

Determine o valor de $\theta$ tal que $z^2 + 2z\bar{z} - 6 = 2\sqrt{3}\,i$.

Seja $f$ uma função contínua, de domínio $[0, +\infty[$, cujo gráfico admite uma assíntota horizontal.

Determine uma equação da assíntota não vertical ao gráfico da função $g$, de domínio $[0, +\infty[$, definida por

$$g(x) = \sqrt{(f(x))^2 + 4x^2 + 5x}$$