Exercício 9 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2024

9. Na Figura 3, estão representadas, em referencial o.n. $xOy$, a circunferência de centro em $O$ e raio $2$ e uma região sombreada composta pelo trapézio $[OBCD]$, retângulo em $C$ e em $D$, e pelo sector circular correspondente ao ângulo orientado $AOB$, de amplitude $\alpha$, em radianos, com $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, e raio $\overline{OA}$.

Figura 3

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence à circunferência e ao semieixo positivo $Ox$;

os pontos $B$ e $C$ pertencem à circunferência, sendo $C$ o simétrico de $B$, em relação ao eixo $Oy$.

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de $\alpha$, pela expressão

$$2\alpha + 3\operatorname{sen}(2\alpha)$$