Exercício 8 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2024

8. Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$.

Sabe-se que:

para qualquer número real $a$, $a \neq 2$, $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$;

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$, com $f(2) > 0$, e $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$;

$f(1) \times f(3) < 0$.

Considere as proposições seguintes:

I. O teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a função $f$ tem, pelo menos, um zero no intervalo $]1, 3[$.

II. A reta de equação $x = 2$ é assíntota ao gráfico da função $\frac{1}{f}$.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.