Exame Nacional Matemática A 2024 · 2.ª fase

1. Na Figura 1, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o cubo $[ABCDEFGH]$.

Sabe-se que:

• o plano $ABC$ é definido pela equação $x = 0$;

• o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Oy$, e $\overline{OA} = 4$;

• o ponto $F$ pertence ao plano $xOy$;

• a reta $FC$ é definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (-5, 2, 14) + k(-5, -1, 7), \quad k \in \mathbb{R}$.

1.1.

Qual das seguintes equações vetoriais define a reta que passa no ponto $A$ e é paralela à reta $FC$?

1.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine a equação cartesiana reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo $[ABCDEFGH]$.

2. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

De uma progressão aritmética $(u_n)$, sabe-se que a soma do primeiro com o quinto termo é igual a $26$ e que o nono termo é igual a $31$.

Averigue se $835$ é termo da progressão $(u_n)$.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, parte do gráfico da função $f$, de domínio $\mathbb{R}^+$, definida por $f(x) = \log_{2a} x$, com $a > 1$, e o trapézio $[ABCD]$.

Figura 2

Sabe-se que:

os pontos $A$ e $B$ pertencem ao eixo $Ox$ e têm abcissas $a$ e $a+4$, respetivamente;

os pontos $D$ e $C$ pertencem ao gráfico de $f$ e têm abcissas $a$ e $a+4$, respetivamente.

Determine o valor de $a$ para o qual a área do trapézio $[ABCD]$ é igual a $4$.

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos à remuneração base média mensal dos trabalhadores portugueses por conta de outrem, por sexo, em seis anos pertencentes ao período de 1995 a 2020.

Anos · Remuneração base

média mensal – homens (€)

$(x)$ · Remuneração base

média mensal – mulheres (€)

$(y)$

1995 · 542,8 · 416,8

2000 · 674,7 · 523,6

2005 · 832,5 · 672,0

2010 · 976,7 · 800,8

2015 · 990,1 · 825,0

2020 · 1109,2 · 960,3

Fonte: PORDATA (consultado em setembro de 2023).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela anterior.

A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana da remuneração base média mensal dos homens é euros, e a amplitude interquartil é euros.

De 2015 para 2020, a remuneração base média mensal das mulheres teve um aumento percentual igual a.

O coeficiente de correlação linear das variáveis $x$ e $y$, apresentadas na tabela, arredondado às milésimas, é.

Na Figura 3, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência de equação $(x-1)^2 + y^2 = 9$ e o triângulo $[PQR]$, inscrito na circunferência.

Figura 3

Seja $\alpha$ a amplitude, em radianos, do ângulo $QPR$.

Sabe-se que:

$[PQ]$ é um diâmetro da circunferência;

$\vec{QR} \cdot \vec{QP} = 27$.

Determine o valor de $\alpha$.

Seja $f$ uma função contínua, de domínio $[0, +\infty[$, com $f(0)=2$, e seja $g$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, definida, para um certo valor de $k$ real, por

$$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \ge 0 \\[10pt] \dfrac{e^{-k}\,(e^x - 1)}{-x^2 + 2x} & \text{se } x < 0 \end{cases}$$

A reta de equação $y = 3x - 5$ é assíntota ao gráfico da função $g$, quando $x \to +\infty$.

Qual das seguintes igualdades é verdadeira?

Seja $f$ uma função contínua, de domínio $[0, +\infty[$, com $f(0)=2$, e seja $g$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, definida, para um certo valor de $k$ real, por

$$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \ge 0 \\[10pt] \dfrac{e^{-k}\,(e^x - 1)}{-x^2 + 2x} & \text{se } x < 0 \end{cases}$$

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $k$, sabendo que a função $g$ é contínua em $x = 0$.

Considere um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de $1$ a $6$.

7.1.

Lança-se esse dado três vezes e regista-se o número da face que ficou voltada para cima em cada lançamento.

Qual é a probabilidade de, em exatamente dois desses lançamentos, se obter, na face voltada para cima, um múltiplo de $3$?

7.2.

Considere todos os números naturais com seis algarismos diferentes que é possível formar usando os algarismos $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$, inscritos nas faces do dado.

Determine quantos desses números são pares, inferiores a trezentos mil, e com os algarismos $2$ e $4$ um ao lado do outro. Um número nestas condições é, por exemplo, $142\ 356$.

Seja $E$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset E$ e $B \subset E$).

Sabe-se que:

$0 < P(A) < 1$ e $0 < P(B) < 1$;

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 9\,P(A \cap B)$;

$P(\overline{A}) = 3\,P(B)$.

Determine o valor de $P(A|B)$.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Uma empresa que fabrica suspensões para veículos está a testar a elasticidade nas vibrações verticais de um certo tipo de mola.

Num dos testes, fixou-se uma das extremidades de uma mola numa bancada, e a extremidade livre foi alongada alguns centímetros acima da posição de equilíbrio, tendo sido depois solta (Figura 4).

Figura 4

Admita que a mola oscila numa trajetória vertical e que o deslocamento, $y$, em centímetros, da extremidade livre da mola, em relação à posição de equilíbrio, no primeiro segundo, é dado, em cada instante $t$, em segundos, por

$$y(t) = 7{,}5\,e^{-1,5t}\operatorname{sen}(8,6t + 1,6), \quad \text{com } t \in [0, 1]$$ (o argumento da função seno está expresso em radianos).

Existem três instantes em que a extremidade livre da mola está meio centímetro abaixo da posição de equilíbrio.

Determine, recorrendo à calculadora, o primeiro desses instantes.

Apresente o resultado arredondado às centésimas de segundo.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

a)

b)

c)

Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}^+$, duas vezes diferenciável.

Relativamente à função $f$, sabe-se que:

a função $f'$, derivada da função $f$, é estritamente crescente no intervalo $]0, +\infty[$;

$f'(1) = 2$.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função $f$ pode ter concavidade voltada para baixo em $\mathbb{R}^+$.

II. No intervalo $]1, 5[$, a função $f$ tem, pelo menos, um extremo.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

Seja $g$ uma função diferenciável, de domínio $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$, cuja derivada, $g'$, é dada por

$$g'(x) = \cos(2x) + 2\operatorname{sen} x$$

Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.

11.1.

Seja $r$ a reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa $0$, e seja $s$ a reta paralela à reta $r$ que intersecta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $4$.

Determine a equação reduzida da reta $s$.

11.2.

Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo;

o(s) intervalo(s) em que o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para cima;

a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de $g$, caso este(s) exista(m).

Considere o ponto $A$, afixo no plano complexo do número $z = -2i$.

Qual dos seguintes números complexos tem como afixo o transformado do ponto $A$ por uma rotação de centro na origem e de ângulo orientado de amplitude $\frac{\pi}{3}$ radianos?

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $$w = \frac{-1 - \sqrt{3}\,i}{e^{i\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}}$$

O número complexo $w$ é uma das raízes sextas de um certo número complexo $z$.

Determine $i\,z$.

Considere uma função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, par e diferenciável.

Seja $a$ um número real tal que $f'(a) = f(a)$, com $f(a) \neq 0$.

Prove que $f'(-a) \times f'(a) = -[f(a)]^2$.

Sugestão: na sua resposta, poderá fazer uso da definição de derivada de uma função num ponto.