Exercício 5 - Derivadas e estudo de funções · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2024

Tema: Derivadas e estudo de funções · Do exame 1.ª fase (2024)

Enunciado

Considere, para um certo valor de kk real, a função gg, de domínio R\mathbb{R}, definida por

g(x)={1−xex−1−1−ex−kse x<1x2−3x−2ln⁡xse x≥1g(x) = \begin{cases} \dfrac{1-x}{e^{x-1} - 1} - e^{x-k} & \text{se } x < 1 \\ x^2 - 3x - 2\ln x & \text{se } x \ge 1 \end{cases}

Resolva os itens 5.1. e 5.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

5.1. Estude, no intervalo ]1,+∞[]1, +\infty[, a função gg quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

x=x =

Enunciado: Exercício 5 - Derivadas e estudo de funções · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2024

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Expressão da derivada g′(x)g'(x) para x∈]1,+∞[x \in ]1, +\infty[

Resposta: 2x−3−2x2x - 3 - \frac{2}{x} / 2x2−3x−2x\frac{2x^2 - 3x - 2}{x}

Zero de g′g' em ]1,+∞[]1, +\infty[

Resposta: 2

Mínimo relativo de gg em ]1,+∞[]1, +\infty[ (valor do extremo g(2)g(2))

Resposta: −2−2ln⁡(2)-2 - 2\ln(2) / −2−ln⁡(4)-2 - \ln(4)

Conclusão sobre a monotonia e extremos (quadro de sinais/variação e intervalos)

Resposta: A função gg é estritamente decrescente em ]1,2]]1, 2] (ou ]1,2[]1, 2[) e estritamente crescente em [2,+∞[[2, +\infty[ (ou ]2,+∞[]2, +\infty[). Apresenta um mínimo relativo igual a −2−2ln⁡2-2 - 2\ln 2 em x=2x = 2.

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