Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen ändert sich die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür wird für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208)\cdot e^{-0,1x - 5,7} + 7,\quad x \in \mathbb{R},$$ verwendet. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Verlauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Um die Änderungsrate der Konzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens zu beschreiben, dienen für $0 \le t \le 8$ die Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot (t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2},\quad t \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R},\ a \ge 1$$ als Modell. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. Zu $t = 0$ gehört 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ gezeigt.

Ohne Beweis darf verwendet werden: $h_a'(t) = -10a\cdot (-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Bestimmen Sie den Funktionswert $f(3)$ und interpretieren Sie diesen Wert im Kontext der Anwendung.

a) (2)

Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Tageshöchstkonzentration größer als $80\text{ pg/ml}$ ist.

Von $x_1 \approx$ bis $x_2 \approx$ Jahren.

a) (3)

Bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Tageshöchstkonzentration zwischen dem Alter von $20$ und $40$ Jahren.

a) (4)

Ermitteln Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach dem Modell ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an. [Zur Kontrolle: $x_{\max} \approx 10{,}6$.]

a) (5)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a;b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die mittlere Tageshöchstkonzentration zwischen dem Alter von $5$ und $15$ Jahren.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent sie vom Maximalwert der Tageshöchstkonzentration abweicht.

Teilaufgabe b)

Ohne Nachweis darf verwendet werden: $h_a'(t) = -10a \cdot (-0{,}5t^2 + 4t - 7) \cdot e^{-(0{,}5t-2)^2}$.

b) (1)

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass die Null- und Extremstellen nicht vom Parameter $a$ abhängen.

b) (2)

Die globalen Extremstellen von $h_a$ sind identisch mit den lokalen Extremstellen im Intervall $[0;8]$. [Ein Nachweis ist nicht nötig.]

Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen aller Funktionen $h_a$ mit $a \ge 1$ und interpretieren Sie sie im Sachzusammenhang. Geben Sie die Extremstellen dabei als Uhrzeiten in Stunden und Minuten an.

Lokales Maximum bei $t_{E1} \approx$, entspricht Uhrzeit: Uhr.

Lokales Minimum bei $t_{E2} \approx$, entspricht Uhrzeit: Uhr.

b) (3)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration um 2:00 Uhr ihr Maximum erreicht.