Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Im Landschaftspark Hoheward befindet sich auf einer Plattform eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, in dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse in Richtung Norden weist (siehe Abbildung 2).

In der Realität entspricht eine Längeneinheit dieses Koordinatensystems einem Meter.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Diese Deckfläche bildet zugleich die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

d)

Die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$ befinden sich alle in der Ebene $E$.

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform. [4 Punkte]

e)

Wenn die Sonne genau im Süden steht, fallen die Sonnenstrahlen entlang des Vektors $\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, h \in \mathbb{R}, h > 0$ ein. Dabei ist der Wert des Parameters $h$ von der Jahreszeit abhängig. Der Schattenpunkt der Spitze der Pyramide ist nur dann am Boden zu sehen, wenn die Sonne nicht zu hoch am Himmel steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ ist der Schattenpunkt der Spitze ein Punkt der Geradenschar $g_h$ mit $g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix},\ t \in \mathbb{R}, h \in \mathbb{R}, h > 0$.

(1)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $h$ man den Schattenpunkt der Spitze auf dem Boden erkennen kann. [3 Punkte]

[Hinweis: Die Abmessungen der Plattform können außer Acht gelassen werden.]

(2)

Ermitteln Sie die von $h$ abhängigen Koordinaten eines Punktes $S_h$, an dem der Schatten der Spitze auf der Plattform erscheint. [2 Punkte]

[Hinweis: Eine Beschränkung für $h$, etwa aus (1), braucht nicht beachtet zu werden.]

Am 22. September 2021 dauern Tag und Nacht gleich lang. An diesem Tag bewegt sich der Schattenpunkt der Spitze ganztägig geradlinig von West nach Ost, das heißt parallel zur $x_1$-Achse. Steht die Sonne an diesem Tag mittags genau im Süden, hat sie über der Plattform der Sonnenuhr einen Winkel von $38{,}4^\circ$.

(3)

Ermitteln Sie den Wert von $h$, bei dem die Sonne unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr steht, und geben Sie eine Gleichung in Parameterform für die Gerade an, auf der sich der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 bewegt. [3 + 1 = 4 Punkte]