Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Im Landschaftspark Hoheward befindet sich auf einer Plattform eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, in dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse in Richtung Norden weist (siehe Abbildung 2).

In der Realität entspricht eine Längeneinheit dieses Koordinatensystems einem Meter.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Diese Deckfläche bildet zugleich die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

a)

(1) Geben Sie für die Grundfläche des Pyramidenstumpfs die Koordinaten der Eckpunkte $A_3$ und $A_4$ an.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch sowohl das Volumen des Pyramidenstumpfs als auch das der Pyramide und geben Sie anschließend das Volumen des Obelisken an.

[Hinweis: Die benötigten Höhen lassen sich aus den Koordinaten entnehmen.]

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Größen aller Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks $B_1B_2C$.

c)

Eine Kamera ist nördlich des Obelisken und oberhalb von ihm angebracht. Im Modell liegt sie im Punkt $K(0|5|15)$.

Untersuchen Sie, ob die Kamera von der Pyramidenspitze weniger weit entfernt ist als von der ihr nächstgelegenen Kante der Pyramidengrundfläche.