Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$

eine Funktion $f_k$ festgelegt.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Jeder der in Abbildung 1 gezeigten Graphen I, II und III entspricht genau einem der Werte $k = 0{,}5$, $k = 1$ und $k = 1{,}5$.

Entscheiden Sie, welchem Graphen welcher Wert zuzuordnen ist.

Graph I:

Graph II:

Graph III:

a) (2)

Bestimmen Sie die Nullstellen von $f_k$ rechnerisch in Abhängigkeit vom Parameter $k$.

[Zur Kontrolle: Die Nullstellen von $f_k$ sind $x = 0$ und $x = 3\cdot k$.]

a) (3)

Weisen Sie nach, dass an den Stellen $x = k$ und $x = 3\cdot k$ lokale Extremstellen von $f_k$ vorliegen, und ermitteln Sie, um welche Art von Extremstellen es sich handelt.

Teilaufgabe d)

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = f_1(x)\cdot e^{-x},\quad x\in\mathbb{R},$$

dargestellt.

Zu jeder reellen Zahl $u$ mit $0 < u < 3$ bilden die Punkte $P(0\mid 0)$, $Q_u(u\mid 0)$ und $R_u(u\mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$.

d) (1)

Zeichnen Sie das Dreieck $PQ_{1{,}5}R_{1{,}5}$ in Abbildung 4 ein.

d) (2)

Weisen Sie nach, dass sich der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ so darstellen lässt:

$$A(u) = \left(\frac{1}{2}\cdot u^4 - 3\cdot u^3 + \frac{9}{2}\cdot u^2\right)\cdot e^{-u}.$$

d) (3)

Weisen Sie nach, dass gilt:

$$A'(u) = \left(-\frac{1}{2}\cdot u^4 + 5\cdot u^3 - \frac{27}{2}\cdot u^2 + 9\cdot u\right)\cdot e^{-u}.$$

d) (4)

Ermitteln Sie rechnerisch, für welchen Wert $u$ mit $0 < u < 3$ das zugehörige Dreieck $PQ_uR_u$ den größten Flächeninhalt besitzt.

Gesuchter Wert $u$: