Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

In Abbildung 1 ist ein Modell einer Schwenkbrücke zu sehen, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die in Abbildung 2 gezeigte Seitenansicht der Brücke wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Brückenmodell steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens.

a)

(1) Bestimmen Sie die Nullstelle $x_n$ der Funktion.

[Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist $x_n \approx 22{,}44$.]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß der vertikale Abstand zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen höchstens wird.

b)

(1) Ermitteln Sie jeweils die Stelle, an der die obere Randlinie am stärksten ansteigt und am stärksten abfällt.

(2) Prüfen Sie, ob die obere Randlinie an irgendeiner Stelle einen Anstieg oder ein Gefälle von mehr als $45^\circ$ aufweist.

c)

(1) Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_1$ trifft in einer Höhe von $3\text{ cm}$ auf die obere Randlinie.

Ermitteln Sie die Stelle dieser Verbindung.

(2) Eine weitere Strebe $S_2$ liegt auf einer Geraden durch den Punkt $P_1(6\mid 0)$ der $x$-Achse. Sie trifft im Punkt $P_2$ genau dann senkrecht auf die obere Randlinie, wenn der Abstand von $P_1$ und $P_2$ minimal ist.

Leiten Sie einen Term her, mit dem sich der Abstand von $P_1$ und $P_2$ berechnen lässt.

Ermitteln Sie den Punkt $P_2$, an dem $S_2$ senkrecht auf die obere Randlinie stößt.

d)

Abbildung 2 zeigt rechts über der oberen Randlinie der Brücke eine Rampe, die zum Ufer führt. Im mathematischen Modell wird sie durch die Tangente an die obere Randlinie an der Stelle $x = 17$ dargestellt.

Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente.

e)

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29),\; x \in \mathbb{R}$, gibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens an.

Bestimmen Sie für das Intervall $[2; 19]$ sowohl den kleinsten als auch den größten vertikalen Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem durch $g$ beschriebenen Bogen.