Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Ermitteln Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung der Funktion $p_k$.

Lösung: Ansatz: $p_k(x) = a\cdot x\cdot (x - 3\cdot k)$. Aufgrund der Symmetrie der Parabel liegt der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen $x=0$ und $x=3\cdot k$, also bei $x = \frac{3}{2}\cdot k$. Da der Scheitelpunkt auf dem Graphen von $f_k$ liegt, gilt: $$p_k\left(\frac{3}{2}\cdot k\right) = f_k\left(\frac{3}{2}\cdot k\right)$$ $$a\cdot \frac{3}{2}\cdot k \cdot \left(\frac{3}{2}\cdot k - 3\cdot k\right) = \frac{1}{k}\cdot \left(\frac{3}{2}\cdot k\right)^3 - 6\cdot \left(\frac{3}{2}\cdot k\right)^2 + 9\cdot k\cdot \frac{3}{2}\cdot k$$ $$a\cdot \frac{3}{2}\cdot k \cdot \left(-\frac{3}{2}\cdot k\right) = \frac{27}{8}\cdot k^2 - \frac{27}{2}\cdot k^2 + \frac{27}{2}\cdot k^2$$ $$-\frac{9}{4}\cdot k^2 \cdot a = \frac{27}{8}\cdot k^2 \iff a = -\frac{3}{2}$$

Funktionsgleichung von $p_k$

Lösung: $p_k(x) = -\frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot k\cdot x$ / $p_k(x) = -\frac{3}{2}\cdot x\cdot(x-3\cdot k)$