Ejercicio 8. Problema 2. Serie de potencias y aproximación… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Considera la función racional $f(x) = \frac{1 - \frac{1}{3}x}{1 - x^2}$.

a)

Descompón $f(x)$ en fracciones simples de la forma $\frac{a_1}{1 - x} + \frac{a_2}{1 + x}$ y especifica su intervalo de convergencia.

b)

Halla el campo de convergencia de la serie generada por los términos combinados:

$$S(x) = 1 - \frac{1}{3}x + x^2 - \frac{1}{3}x^3 + x^4 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \left( x^{2n} - \frac{1}{3}x^{2n+1} \right)$$

c)

Calcula una aproximación de $S(1/3)$ utilizando los cuatro primeros términos $S_4(1/3)$, acota el error cometido y determina el valor exacto de la suma numérica asociada.