Ejercicio 15. Problema 2. Polinomio de Taylor y relaciones… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

15. Problema 2. Polinomio de Taylor y relaciones de recurrencia

a.

Sea $f(x) = 3 + \int_0^x \frac{1 + \sin t}{2 + t^2}\,dt$. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de $f(x)$ centrado en $x = 0$.

b.

Demuestra que si en el intervalo $(-R, R)$ se cumple la igualdad de series $$(1 - x - x^2) \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 1$$ entonces los coeficientes verifican la recurrencia $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ para todo $n \ge 2$, hallando además los valores de $a_0$ y $a_1$.