Ejercicio 18. Second Partial Exam (December 2017). Sucesion… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a. 1. Resolver mediante desarrollos de Taylor: $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

Solución: 1/2

a. 2. Calcular el límite: $\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n k \sqrt[k]{k}}{n^2}$

Solución: 1/2

b. Término general $a_n$ de la relación de recurrencia $a_n = a_{n-1}^2$ con $a_0 = 1/2$

Solución: (1/2)^(2^n) / 2^(-2^n)

b. Límite de $a_n$ cuando $n \to \infty$

Solución: 0

c. 1. Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de: $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{3^n n!}$

Solución: A) Converge absolutamente

c. 2. Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n (\sqrt{n^2 - 1} - n)$

Solución: B) Converge condicionalmente (no absolutamente)

d. 1. Calcular la primitiva: $\int \frac{e^{4x}}{e^{2x} + 2e^x + 1} dx$

Solución: e^(2x)/2 - 2*e^x + 3*log(e^x + 1) + 1/(e^x + 1)

d. 2. Calcular la primitiva: $\int x(\log x)^2 dx$

Solución: (x^2/2)*(log(x))^2 - (x^2/2)*log(x) + x^2/4

e. 1. Calcular el área encerrada entre $f(x) = -x^2 + 2$ y $g(x) = x^3 - x^2 - 4x + 2$ en el intervalo $[-3, 3]$

Solución: 41/2 / 20.5

e. 2. Calcular el volumen de revolución generado por la elipse $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$ al girar alrededor del eje horizontal

Solución: 128*pi/3 / 134.04