Ejercicio 37 - Examen 1 - Problema 2: Sucesión recurrente y… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a) Representa esquemáticamente el diagrama de telaraña

Solución: Diagrama de telaraña con la curva $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}$ y la diagonal $y=x$. Partiendo de $a_0 = 4$, se calcula $a_1 = f(4) = 8/5 = 1{,}6$, rebotando en la diagonal y convergiendo de forma monótona creciente hacia el punto fijo $x = 2$.

a) Deduce el límite $\lim_{n\to\infty} a_n$

Solución: 2

b) Calcula el límite: $\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4} + \dots + \frac{n^2}{n+1}}{n^2}$

Solución: 1/2 / 0,5