Ejercicio 59 - Examen 6 - Ejercicio 2: Límite por L'Hôpital… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Calcula el límite $\lim_{x \to 0} \frac{\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^2}$

Solución: -1/6

utilízalo para estudiar la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^\infty \log(n\sin(1/n))$.

Solución: Converge

b. Determina la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{\sqrt[3]{n}\cdot 5\cdot 8\cdot 11\cdots (5+3n)}$

Solución: Converge

y halla el límite de la sucesión $\frac{1^\alpha + 2^\alpha + 3^\alpha + \cdots + n^\alpha}{n^{\alpha+1}}$ para $\alpha > -1$.

Solución: 1/(\alpha + 1)