Exame Nacional Matemática A 2021 · 2.ª fase

1. Na Figura 1, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um trapézio $[PQRS]$, de bases $[PQ]$ e $[RS]$, em que o lado $[PS]$ é perpendicular às bases.

Tem-se $P(1, -1, 2)$, $Q(-2, 1, 1)$ e $R(-5, 5, -3)$

1.1.

Qual das condições seguintes define a superfície esférica de centro no ponto $R$ e que passa no ponto $Q$?

1.2.

Determine uma equação do plano perpendicular à reta $RS$ e que passa no ponto $P$

Apresente essa equação na forma $ax + by + cz + d = 0$

2. Sabe-se que $\operatorname{sen}\!\left(\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{1}{5}$ e que $\alpha \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $\operatorname{tg}(\pi - \alpha) + 2\cos\!\left(-\dfrac{7\pi}{2} + \alpha\right)$

Apresente o resultado na forma $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$, com $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{N}$ e $c \in \mathbb{N}$

Numa dada localidade, existe um clube onde se pratica badmínton e ténis.

3.1. Com doze raquetes distintas, sendo seis de badmínton e seis de ténis, formam-se, ao acaso, dois conjuntos de seis raquetes cada um.

Qual é o valor, arredondado às centésimas, da probabilidade de cada um dos dois conjuntos ficar com três raquetes de badmínton e três raquetes de ténis?

()

Numa dada localidade, existe um clube onde se pratica badmínton e ténis.

3.2. Relativamente a este clube, sabe-se que:

cada sócio pratica uma e só uma das duas modalidades;

$65\%$ dos sócios são mulheres;

$\frac{1}{7}$ dos homens pratica badmínton;

$\frac{5}{6}$ dos praticantes de badmínton são mulheres.

Escolhe-se, ao acaso, um sócio deste clube.

Determine a probabilidade de o sócio escolhido ser uma mulher que pratica ténis.

Apresente o resultado na forma de percentagem.

4. Considere, num plano $\alpha$, duas retas paralelas $r$ e $s$.

Assinalam-se, na reta $r$, cinco pontos distintos e, na reta $s$, um certo número $n$ de pontos, igualmente distintos.

Sabe-se que, com os pontos assinalados nas duas retas, é possível definir exatamente $175$ triângulos.

Determine o valor de $n$.

5. Na Figura 2, está representada parte do gráfico de uma função $g$, de domínio $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

A reta de equação $x = 2$ é uma assíntota vertical ao gráfico da função $g$.

Seja $(v_n)$ a sucessão de termo geral $v_n = 2 - \frac{5}{n+3}$.

A que é igual $\lim g(v_n)$ ?

()

Seja $(u_n)$ uma progressão aritmética.

Sabe-se que, relativamente a $(u_n)$, a soma do sexto termo com o vigésimo é igual a $-5$ e que o décimo nono termo é igual ao quádruplo do sétimo termo.

Determine a soma dos dezasseis primeiros termos desta progressão.

Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z = 2e^{i\frac{3\pi}{5}}$.

Seja $w$ o número complexo tal que $z \times w = i$

Qual dos valores seguintes é um argumento do número complexo $w$?

()

Item 8

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, a condição $(1 + 2i)z + (1 - 2i)\bar{z} + 10 = 0$ define, no plano complexo, uma reta.

Considere todos os números complexos cujos afixos pertencem a esta reta.

Determine qual deles tem menor módulo.

Apresente esse número complexo na forma $a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - e^{-x}}{x} & \text{se } x < 0 \\[1em] \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1} - 3 & \text{se } x \ge 0 \end{cases}$$

Resolva os itens 9.1. e 9.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva os itens 9.1. e 9.2. sem recorrer à calculadora.

9.1.

Estude a função $f$ quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico e, caso estas existam, escreva as respetivas equações.

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - e^{-x}}{x} & \text{se } x < 0 \\[1em] \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1} - 3 & \text{se } x \ge 0 \end{cases}$$

Resolva os itens 9.1. e 9.2. sem recorrer à calculadora.

9.2. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto de abcissa $-2$

10. Seja $h$ a função, de domínio $\left[0, \frac{\pi}{2}\right[$, definida por $h(x) = \operatorname{sen} x + \cos^2 x$

Estude, sem recorrer à calculadora, a função $h$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Num laboratório cuja temperatura ambiente é constante, aqueceu-se uma substância até atingir uma certa temperatura, superior à temperatura ambiente, e, a seguir, deixou-se arrefecer essa substância durante uma hora.

Admita que a temperatura dessa substância, em graus Celsius, $t$ minutos após o início do arrefecimento, é dada por

$$T(t) = 20 + 100e^{-kt},\quad 0 \le t \le 60$$

em que $k$ é uma constante real positiva.

11.1.

Durante o arrefecimento, houve um instante $t_1$ em que a temperatura da substância foi $30\ \text{°C}$.

Qual é o valor de $k$?

11.2.

Considere $k = 0{,}04$

Sabe-se que, durante os primeiros $t_2$ minutos, a taxa média de variação da função $T$ foi igual a $-2{,}4$

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de $t_2$, sabendo que esse valor existe e é único.

Apresente o resultado em minutos e segundos (segundos arredondados às unidades).

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação, e apresente a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) relevante(s) arredondada(s) às milésimas.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

min

s

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, para um certo número real $k$, a função $g$, de domínio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, definida por

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - x}{x^2 - x} + k & \text{se } x < 0 \\[2ex] 2 + x \ln x & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

Sabe-se que existe $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x)$.

Determine o valor de $k$

a)

b)

c)

Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação

$$x \ln(1-x) - \ln(1-x) = (1-x) \ln(3-2x)$$

Na Figura 3, está representada a circunferência trigonométrica.

Sabe-se que:

os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência;

o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$ e o ponto $B$ pertence ao primeiro quadrante;

a amplitude do ângulo $BOC$ é igual ao dobro da amplitude do ângulo $AOB$;

a área do triângulo $[AOB]$ é igual a $k$ $\left(0 < k < \frac{1}{2}\right)$.

Mostre que a ordenada do ponto $C$ é dada, em função de $k$, por $6k - 32k^3$.