Exercício 2 · Exame Nacional Matemática A Época especial 2021

Tema: Trigonometria e funções trigonométricas · Do exame Época especial (2021)

Enunciado

Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. $xOy$ , o arco de circunferência $AB$ , contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, cujo centro é a origem do referencial e cujo raio é igual a $r$ ( $r > 0$ ).

O ponto $A$ pertence ao eixo $Ox$ e o ponto $B$ pertence ao eixo $Oy$

Seja $P$ um ponto do arco $AB$ , distinto de $A$ e de $B$ , e seja $d$ o comprimento do arco $AP$

O ponto $S$ pertence ao eixo das ordenadas e tem ordenada igual à do ponto $P$ . O ponto $T$ pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa igual à do ponto $P$

Mostre que uma expressão que dá o valor de $\overline{BS} + \overline{TA}$ , em função de $d$ e de $r$ , é

$r\left(2 - \operatorname{sen}\left(\frac{d}{r}\right) - \cos\left(\frac{d}{r}\right)\right)$

Enunciado: Exercício 2 · Exame Nacional Matemática A Época especial 2021

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Mostre que uma expressão que dá o valor de $\overline{BS} + \overline{TA}$ , em função de $d$ e de $r$ , é $r\left(2 - \operatorname{sen}\left(\frac{d}{r}\right) - \cos\left(\frac{d}{r}\right)\right)$

Resposta: Designemos por $\alpha$ a amplitude do ângulo $AOP$ , em radianos. Comprimento do arco: $d = r \alpha \iff \alpha = \frac{d}{r}$ . Como as coordenadas de $P$ são $(r\cos\alpha, r\operatorname{sen}\alpha)$ : $\overline{OT} = r\cos\left(\frac{d}{r}\right)$ e $\overline{OS} = r\operatorname{sen}\left(\frac{d}{r}\right)$ . Logo: $\overline{BS} = r - \overline{OS} = r - r\operatorname{sen}\left(\frac{d}{r}\right)$ $\overline{TA} = r - \overline{OT} = r - r\cos\left(\frac{d}{r}\right)$ Somando: $\overline{BS} + \overline{TA} = r - r\operatorname{sen}\left(\frac{d}{r}\right) + r - r\cos\left(\frac{d}{r}\right) = r\left(2 - \operatorname{sen}\left(\frac{d}{r}\right) - \cos\left(\frac{d}{r}\right)\right)$ .

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