Exame Nacional Matemática A 2021 · 1.ª fase

1. Na Figura 1, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um paralelepípedo retângulo $[ABCDEFGH]$

Sabe-se que:

o vértice $A$ pertence ao eixo $Ox$ e o vértice $B$ pertence ao eixo $Oy$

as coordenadas dos vértices $E$ e $G$ são $(7, 2, 15)$ e $(6, 10, 13)$, respetivamente;

a reta $EF$ é definida pela equação $$(x, y, z) = (1, -2, 19) + k(-3, -2, 2), \; k \in \mathbb{R}$$

1.1.

Qual das equações seguintes define uma reta perpendicular à reta $EF$ e que passa no ponto $E$?

()

1.2.

Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto $B$ e que passa no ponto $D$

2. Na Figura 2, estão representados, num referencial o.n. $xOy$, a circunferência de centro em $O$ e raio $3$ e o triângulo $[ABC]$

Sabe-se que:

o segmento de reta $[AB]$ é um diâmetro da circunferência;

$\alpha$ é a inclinação da reta $AB$ $\left(\alpha \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[\right)$

o ponto $C$ pertence ao semieixo positivo $Ox$

a reta $BC$ é paralela ao eixo $Oy$

Mostre que a área do triângulo $[ABC]$ é dada pela expressão $$-9 \operatorname{sen} \alpha \cos \alpha$$

Numa escola frequentada por estudantes portugueses e estrangeiros, $60\%$ dos alunos são raparigas e $15\%$ são rapazes estrangeiros.

Escolheu-se, ao acaso, um aluno dessa escola e verificou-se que era um rapaz.

Qual é a probabilidade de ele ser português?

()

O corfebol é um desporto coletivo misto, com origem na Holanda.

Um clube de corfebol de um certo país vai participar num torneio internacional.

A comitiva vai deslocar-se por via terrestre, utilizando um automóvel de cinco lugares e uma carrinha de nove lugares. A comitiva é constituída por três dirigentes, um treinador, cinco jogadores do sexo masculino e cinco do sexo feminino.

Escreva uma expressão que dê o número de maneiras diferentes de distribuir os catorze elementos da comitiva pelos catorze lugares disponíveis, sabendo-se que os dois condutores são dois dos dirigentes e que, no automóvel, vão dois jogadores de cada sexo.

Uma turma de $11.^{\circ}$ ano é constituída por $30$ alunos com idades de $15$, $16$ e $17$ anos, dos quais $60\%$ são raparigas. Sabe-se que um terço dos rapazes tem $17$ anos e que um terço das raparigas tem $15$ ou $16$ anos.

O André e a Beatriz, alunos da turma, são gémeos e têm $16$ anos.

Escolhem-se, ao acaso, cinco alunos da turma.

Determine a probabilidade de o grupo constituído por esses cinco alunos ser formado pelo André, pela Beatriz, por dois jovens com $17$ anos e por outro com $15$ ou $16$ anos.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas.

Seja $(v_n)$ uma progressão geométrica.

Sabe-se que $v_5 = 4$ e que $v_8 = 108$

Qual é o valor de $v_6$?

()

7. Seja $(u_n)$ a sucessão definida por $u_n = 2 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$

Determine, sem recorrer à calculadora, quantos termos de ordem ímpar da sucessão $(u_n)$ pertencem ao intervalo $\left[\dfrac{83}{41}, \dfrac{67}{33}\right]$

Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ e $z_2 = 2e^{i\frac{3\pi}{28}}$.

Seja $w$ o número complexo tal que $w = \frac{z_1}{z_2}$.

Sabe-se que, no plano complexo, o afixo do número complexo $w$ é um dos vértices de um polígono regular com centro na origem do referencial e com outro vértice sobre o semieixo real positivo.

Qual é o número mínimo de vértices desse polígono?

Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere $z_1 = -3 + 2i$, $z_2 = 1 + 2i$ e $z_3 = 2 - i$.

Seja $w$ o número complexo tal que $w = \frac{z_1 \times z_2}{z_3}$.

Mostre, sem recorrer à calculadora, que a proposição seguinte é verdadeira.

$|w| = \sqrt{13} \;\land\; \text{Arg}(w) \in \left] -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{2} \right[$

Seja $f$ a função, de domínio $]0, +\infty[$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} -x^2(1 + 2\ln x) & \text{se } 0 < x \le 1 \\[1.5ex] \dfrac{5 - 5e^{x-1}}{x^2 + 3x - 4} & \text{se } x > 1 \end{cases}$$ Resolva os itens 10.1. e 10.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva os itens 10.1. e 10.2. sem recorrer à calculadora.

10.1.

Averigue se a função $f$ é contínua em $x = 1$.

Seja $f$ a função, de domínio $]0, +\infty[$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} -x^2(1 + 2\ln x) & \text{se } 0 < x \le 1 \\[1.5ex] \dfrac{5 - 5e^{x-1}}{x^2 + 3x - 4} & \text{se } x > 1 \end{cases}$$ Resolva os itens 10.1. e 10.2. sem recorrer à calculadora.

10.2.

Estude, no intervalo $]0, 1[$, a função $f$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

11. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $g$ a função, de domínio $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, definida por $g(x) = x\cos x + \operatorname{sen} x$

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto pertencente ao gráfico da função $g$ tal que a reta tangente ao gráfico da função nesse ponto tem declive $-\frac{1}{2}$

Apresente a sua demonstração detalhada:

12. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Seja $h$ a função, de domínio $\mathbb{R}^+$, definida por $h(x) = \dfrac{x^3}{2x^2 - \ln x}$

Estude a função $h$ quanto à existência de assíntota oblíqua ao seu gráfico e, caso esta exista, escreva a sua equação reduzida.

13. A Figura 3 representa um depósito de forma cilíndrica, instalado na horizontal, que contém uma certa quantidade de combustível.

Sabe-se que as bases do cilindro têm $1{,}8$ metros de diâmetro.

Num certo instante, iniciou-se o vazamento do depósito.

Seja $a(t)$ a altura, em metros, do combustível no depósito, $t$ minutos após o início do vazamento.

Admita que $a(t) = 1{,}8 - (0{,}216 + 0{,}0039t)^{\frac{2}{3}}$

13.1.

Qual é, em metros, a diferença entre a altura do combustível no depósito no início do vazamento e a altura do combustível quando este ocupa metade da capacidade do depósito?

()

13.2.

Decorridos $t_1$ minutos após o início do vazamento, a altura do combustível no depósito é igual a um certo valor.

Sabe-se que, passado igual período de tempo, a altura do combustível no depósito é igual a metade desse valor.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de $t_1$, sabendo que esse valor existe e é único.

Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação, e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Abscissa:

Ordenada:

h

min

14. Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação

$$\ln\left((1 - x)e^{x - 1}\right) = x$$

Considere, para um certo número real positivo $k$, as funções $f$ e $g$, de domínio $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, definidas por $f(x) = k\operatorname{sen}(2x)$ e $g(x) = k\cos x$

Sejam, num referencial ortonormado do plano, $A$, $B$ e $C$ os pontos de intersecção dos gráficos de $f$ e $g$, sendo $A$ o ponto de menor abcissa e $C$ o ponto de maior abcissa.

Sabe-se que o triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de $k$