Exercício 14 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2021

Tema: Trigonometria e funções trigonométricas · Do exame 2.ª fase (2021)

Enunciado

Na Figura 3, está representada a circunferência trigonométrica.

Sabe-se que:

os pontos AA, BB e CC pertencem à circunferência;

o ponto AA pertence ao semieixo positivo OxOx e o ponto BB pertence ao primeiro quadrante;

a amplitude do ângulo BOCBOC é igual ao dobro da amplitude do ângulo AOBAOB;

a área do triângulo [AOB][AOB] é igual a kk (0<k<12)\left(0 < k < \frac{1}{2}\right).

Mostre que a ordenada do ponto CC é dada, em função de kk, por 6k−32k36k - 32k^3.

Enunciado: Exercício 14 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2021

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Mostre que a ordenada do ponto C é dada, em função de k, por 6k - 32k^3

Resposta: Demonstração: designando α=AO^B\alpha = A\hat{O}B, tem-se Aˊrea[AOB]=OA‾⋅yB2=1⋅sen⁡α2=k⇒sen⁡α=2k\text{Área}_{[AOB]} = \frac{\overline{OA} \cdot y_B}{2} = \frac{1 \cdot \operatorname{sen}\alpha}{2} = k \Rightarrow \operatorname{sen}\alpha = 2k. Como BO^C=2αB\hat{O}C = 2\alpha, o ângulo em posição padrão de CC é α+2α=3α\alpha + 2\alpha = 3\alpha, logo yC=sen⁡(3α)=6k−32k3y_C = \operatorname{sen}(3\alpha) = 6k - 32k^3.

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