Exercício 11 · Exame Nacional Matemática A Época especial 2021

Tema: Funções exponenciais e logarítmicas: equações e inequações · Do exame Época especial (2021)

Enunciado

Seja gg a função, de domínio ]0,π2[\left]0, \frac{\pi}{2}\right[, definida por

g(x)=log⁡2(1−cos⁡x)+log⁡2(1+cos⁡x)+2log⁡2(2cos⁡x)g(x) = \log_2(1 - \cos x) + \log_2(1 + \cos x) + 2\log_2(2\cos x)

Mostre que g(x)=2log⁡2(sen⁡(2x))g(x) = 2\log_2(\operatorname{sen}(2x))

Enunciado: Exercício 11 · Exame Nacional Matemática A Época especial 2021

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

Mostre que g(x)=2log⁡2(sen⁡(2x))g(x) = 2\log_2(\operatorname{sen}(2x))

Resposta: g(x)=log⁡2((1−cos⁡x)(1+cos⁡x))+2log⁡2(2cos⁡x)=log⁡2(1−cos⁡2x)+2log⁡2(2cos⁡x)=log⁡2(sen⁡2x)+2log⁡2(2cos⁡x)=2log⁡2(sen⁡x)+2log⁡2(2cos⁡x)=2(log⁡2(sen⁡x)+log⁡2(2cos⁡x))=2log⁡2(2sen⁡xcos⁡x)=2log⁡2(sen⁡(2x))\begin{aligned} g(x) &= \log_2((1 - \cos x)(1 + \cos x)) + 2\log_2(2\cos x) \\ &= \log_2(1 - \cos^2 x) + 2\log_2(2\cos x) \\ &= \log_2(\operatorname{sen}^2 x) + 2\log_2(2\cos x) \\ &= 2\log_2(\operatorname{sen} x) + 2\log_2(2\cos x) \\ &= 2(\log_2(\operatorname{sen} x) + \log_2(2\cos x)) \\ &= 2\log_2(2\operatorname{sen} x\cos x) \\ &= 2\log_2(\operatorname{sen}(2x)) \end{aligned}

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