Exercício 11 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2021

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto pertencente ao gráfico da função $g$ tal que a reta tangente ao gráfico da função nesse ponto tem declive $-\frac{1}{2}$

Resposta: Determinação de $g'(x) = 2\cos x - x\operatorname{sen} x$, verificação de que $g'$ é contínua em $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, cálculo de $g'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2}$ e $g'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}$, e aplicação do teorema de Bolzano-Cauchy para concluir que existe $c \in \left]\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right[$ tal que $g'(c) = -\frac{1}{2}$.