Exercício 10.2 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2021

Tema: Derivadas e estudo de funções · Do exame 1.ª fase (2021)

Enunciado

Seja ff a função, de domínio ]0,+∞[]0, +\infty[, definida por

f(x)={−x2(1+2ln⁡x)se 0<x≤15−5ex−1x2+3x−4se x>1f(x) = \begin{cases} -x^2(1 + 2\ln x) & \text{se } 0 < x \le 1 \\[1.5ex] \dfrac{5 - 5e^{x-1}}{x^2 + 3x - 4} & \text{se } x > 1 \end{cases} Resolva os itens 10.1. e 10.2. sem recorrer à calculadora.

10.2.

Estude, no intervalo ]0,1[]0, 1[, a função ff quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Enunciado: Exercício 10.2 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2021

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

10.2. Estude, no intervalo ]0,1[]0, 1[, a função ff quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos

Resposta: A função ff é estritamente decrescente em ]0,1e]\left]0, \frac{1}{e}\right] e estritamente crescente em [1e,1[\left[\frac{1}{e}, 1\right[. Tem um mínimo relativo igual a −1e2-\frac{1}{e^2} em x=1ex = \frac{1}{e}.

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