Exame Nacional Matemática A 2021 · Época especial

Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $E$

Sabe-se que:

a base da pirâmide está contida no plano $xOz$

o vértice $A$ pertence ao semieixo positivo $Oz$ e o vértice $B$ pertence ao semieixo negativo $Ox$

o vértice $E$ tem coordenadas $(-2, 6, 2)$

o vetor $\vec{BE}$ tem coordenadas $(-1, 6, 2)$

o volume da pirâmide é $20$

1.1.

Seja $\alpha$ o plano perpendicular à reta $BE$ e que passa no ponto de coordenadas $(1, 0, 1)$

Qual das equações seguintes é uma equação do plano $\alpha$ ?

1.2.

Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do vetor $\vec{AB}$

Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. $xOy$, o arco de circunferência $AB$, contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, cujo centro é a origem do referencial e cujo raio é igual a $r$ ($r > 0$).

O ponto $A$ pertence ao eixo $Ox$ e o ponto $B$ pertence ao eixo $Oy$

Seja $P$ um ponto do arco $AB$, distinto de $A$ e de $B$, e seja $d$ o comprimento do arco $AP$

O ponto $S$ pertence ao eixo das ordenadas e tem ordenada igual à do ponto $P$. O ponto $T$ pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa igual à do ponto $P$

Mostre que uma expressão que dá o valor de $\overline{BS} + \overline{TA}$, em função de $d$ e de $r$, é

$$r\left(2 - \operatorname{sen}\left(\frac{d}{r}\right) - \cos\left(\frac{d}{r}\right)\right)$$

Na Figura 3, está representada, a sombreado, num referencial o.n. $xOy$, a região do plano cartesiano definida pela condição $0 \le x \le 10 \wedge 0 \le y \le 10$

Considere todos os pontos que pertencem a essa região e cujas coordenadas são números inteiros.

Escolhe-se, ao acaso, um desses pontos.

Qual é o valor, arredondado às milésimas, da probabilidade de esse ponto pertencer à reta de equação $y = x + 7$?

()

A Fernanda tem cinco livros diferentes e sete canetas, também diferentes, para repartir pelos seus dois netos, o Armando e o Catarino.

A Fernanda vai oferecer três livros e três canetas a um dos netos, e os restantes objetos ao outro, ou quatro livros e duas canetas a um dos netos, e os restantes objetos ao outro.

Determine, nestas condições, de quantos modos diferentes pode a Fernanda repartir os doze objetos pelos seus dois netos.

Seja $\Omega$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset \Omega$ e $B \subset \Omega$).

Sabe-se que:

$P(A) \neq 0$

$P(B) = \frac{3}{2}P(A)$

$P(B|A) = \frac{1}{2}$

Mostre que $P(\overline{A} \cap \overline{B}) + 2P(A) = 1$

Demonstração concluída. Compare a sua resposta com os passos da resolução oficial abaixo.

6. Considere a sucessão $(u_n)$ definida por $u_n = 2n^2 - n$

Em relação a uma certa função $f$, de domínio $\mathbb{R}^+$, sabe-se que $\lim f\left(\frac{1}{u_n}\right) = +\infty$

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função $f$ ?

()

7. Seja $(u_n)$ a sucessão definida por $u_n = 2n + 1$

Determine, sem recorrer à calculadora, a soma dos primeiros duzentos termos de ordem ímpar da sucessão $(u_n)$

Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, considere os números complexos $z_1$ e $z_2$ tais que, para $\theta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, $z_1 = e^{i\theta}$ e $z_2 = 2e^{i(\theta + \pi)}$

A qual dos quadrantes do plano complexo pertence o afixo do número complexo $z_1 + z_2$?

()

Em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, sejam $z_1 = \frac{1}{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ e $z_2 = 2i$

Determine, sem recorrer à calculadora, os números complexos $z$ que são solução da equação

$$i z^2 + z_1^2 \times (\overline{z_2})^3 - 2 = 0$$

Apresente esses números na forma trigonométrica.

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} x - 2 + \ln(3 - 2x) & \text{se } x \le 1 \\[6pt] \dfrac{\operatorname{sen}(x - 1)}{1 - x^2} + k & \text{se } x > 1 \end{cases} \qquad (k \text{ é um número real})$$ Resolva os itens 10.1. e 10.2. sem recorrer à calculadora.

Resolva sem recorrer à calculadora:

Determine $k$, sabendo que a função $f$ é contínua em $x = 1$

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} x - 2 + \ln(3 - 2x) & \text{se } x \le 1 \\[6pt] \dfrac{\operatorname{sen}(x - 1)}{1 - x^2} + k & \text{se } x > 1 \end{cases} \qquad (k \text{ é um número real})$$ Resolva os itens 10.1. e 10.2. sem recorrer à calculadora.

10.2. Estude, no intervalo $]-\infty, 1[$, a função $f$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.

Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Seja $g$ a função, de domínio $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, definida por

$$g(x) = \log_2(1 - \cos x) + \log_2(1 + \cos x) + 2\log_2(2\cos x)$$

Mostre que $g(x) = 2\log_2(\operatorname{sen}(2x))$

12. Para conhecer a variação do número de bactérias de uma determinada estirpe, colocou-se num tubo de ensaio fechado, com alguns nutrientes, um certo número de bactérias dessa estirpe.

Admita que, nessas condições, o número, $N$, em milhares, de bactérias vivas existentes no tubo, $t$ horas após a sua colocação nesse tubo, é dado por

$$N(t) = N_0 e^{1,08t - 0,3t^2}$$

em que $N_0$ representa a dimensão, em milhares, da população inicial.

12.1.

Com o decorrer do tempo, para que tende o número de bactérias vivas existentes no tubo?

()

12.2.

Considere $N_0 = 1,63$

Num certo instante, $t_1$, havia, no tubo de ensaio, mais meio milhar de bactérias vivas do que uma hora antes desse instante.

Determine, recorrendo à calculadora, o valor de $t_1$, sabendo que este valor existe e é único.

Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação, e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às milésimas.

$x =$

$y =$

h

min

13. Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} & \text{se } x \le 1 \\[8pt] \dfrac{x - 1}{e^{x - 2}} & \text{se } x > 1 \end{cases}$$

Estude, sem recorrer à calculadora, a função $f$ quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico e, caso existam, escreva as suas equações.

a)

b)

14. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que verificam a condição

$$e^{-x}\left(4 + e^{2x}\right) \ge 5 \;\wedge\; -2 \le x \le 2$$

Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de reunião de intervalos de números reais.

15. Na Figura 4, estão representadas, em referencial o.n. $xOy$, partes dos gráficos das funções $f$ e $g$, ambas de domínio $\mathbb{R}$, definidas, respetivamente, por $f(x)=2x^2$ e $g(x)=-(x-1)^2$ e a única reta não horizontal que é tangente, simultaneamente, ao gráfico de $f$ e ao gráfico de $g$.

Seja $A$ o ponto de tangência dessa reta com o gráfico de $f$ e seja $B$ o ponto de tangência dessa mesma reta com o gráfico de $g$.

Determine, sem recorrer à calculadora, as abcissas dos pontos $A$ e $B$.

a)

b)