Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter in der Wirklichkeit.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte

$B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

bilden die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich ist diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten der beiden Eckpunkte $A_3$ und $A_4$ an, die zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören.

(2) Bestimmen Sie rechnerisch sowohl das Volumen des Pyramidenstumpfs als auch das der Pyramide und geben Sie anschließend das Volumen des Obelisken an.

[Hinweis: Die benötigten Höhen lassen sich den Koordinaten entnehmen.]

b)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Größen aller Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks $B_1B_2C$.