Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $t$, die durch die folgenden Gleichungen festgelegt sind:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$

und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Wendepunktes $W$ des Graphen von $f$.

$W($

$|$

$)$

a) (2) (i)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion $t$ die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Wendepunkt $W(4 \mid f(4))$ ist.

a) (2) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 den Graphen der Funktion $t$ ein.

Teilaufgabe d)

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = t(x) \cdot e^{-\frac{1}{4}x}, \quad x \in \mathbb{R},$$

dargestellt. $[t(x) = -\frac{3}{2}x + 8]$.

Für jede reelle Zahl $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$ ist durch die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$ gegeben.

d) (1)

Als Beispiel ist in Abbildung 4 das Dreieck $PQ_3R_3$ ($u = 3$) eingezeichnet. Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(3)$ des Dreiecks $PQ_3R_3$ gilt: $A(3) \approx 2{,}48\text{ FE}$.

d) (2)

Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(u)$ eines Dreiecks $PQ_uR_u$ gilt:

$$A(u) = \left(-\frac{3}{4}u^2 + 4u\right) \cdot e^{-\frac{1}{4}u}.$$

d) (3)

Weisen Sie nach:

$$A'(u) = \left(\frac{3}{16}u^2 - \frac{5}{2}u + 4\right) \cdot e^{-\frac{1}{4}u}.$$

d) (4)

Ermitteln Sie rechnerisch den Wert von $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.