Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk daher unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, bei dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter in der Wirklichkeit.

Die Punkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$, $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$ sind Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfs.

Die Punkte

$B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$,

$B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$,

$B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$

bilden die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich ist diese Deckfläche die Grundfläche der kleinen aufgesetzten Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

c)

Die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$ liegen in der Ebene $E$.

(1) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform.

[2 Punkte]

(2) Eine Markierung auf der Plattform verläuft entlang der Geraden $m$ mit

$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$$

Bestimmen Sie den Punkt, in dem die Gerade $m$ die Ebene $E$ schneidet.

[3 Punkte]

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d)

Wenn die Sonne genau im Süden steht, fallen die Sonnenstrahlen entlang des Vektors

$$\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, \quad h \in \mathbb{R}, h > 0$$

ein. Dabei ist der Wert des Parameters $h$ von der Jahreszeit abhängig. Der Schattenpunkt der Spitze der Pyramide ist nur dann am Boden zu sehen, wenn die Sonne nicht zu hoch am Himmel steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ ist der Schattenpunkt der Spitze ein Punkt der Geradenschar $g_h$ mit

$$g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}, h \in \mathbb{R}, h > 0.$$

(1) Ermitteln Sie, für welche Werte von $h$ der Schattenpunkt der Spitze am Boden zu sehen ist.

[Hinweis: Die Größe der Plattform muss nicht berücksichtigt werden.]

[3 Punkte]

$h <$

Am 22. September 2021 sind Tag und Nacht gleich lang.

An diesem Tag verläuft der Schattenpunkt der Spitze den gesamten Tag geradlinig von Westen nach Osten, also parallel zur $x_1$-Achse.

Wenn sich die Sonne an diesem Tag zur Mittagszeit genau im Süden befindet, steht sie in einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr. Das entspricht ungefähr dem Wert $h = 0{,}79$.

(2) Ermitteln Sie die Koordinaten des Schattenpunktes zu diesem Zeitpunkt und geben Sie für die Gerade, entlang derer der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 verläuft, eine Gleichung in Parameterform an.

[3 Punkte]

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