Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

(1) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für das Integral $\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$

Lösung: 8

und erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen.

Lösung: Der Inhalt der Fläche, die im Intervall von 0 bis 4 zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird, entspricht (ungefähr) dem Flächeninhalt von acht Quadraten mit der Seitenlänge 1.

(2) (i) Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass an den Stellen $x=0$, $x=4$ und $x=8$ Extremstellen von $F$ vorliegen.

Lösung: Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist $f$ die Ableitungsfunktion von $F$. Da $x=0$, $x=4$ und $x=8$ Nullstellen von $f$ sind, an denen jeweils ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von $f$ vorliegt, handelt es sich um Extremstellen von $F$.

(2) (ii) Geben Sie an, welche Art von Extremstelle von $F$ bei $x = 4$ vorliegt.

Lösung: Maximalstelle / lokales Maximum / Hochpunkt

(2) (ii) Begründung für die Art der Extremstelle bei $x = 4$.

Lösung: An dieser Stelle liegt ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von $f$ vor.