Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration über die Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Den höchsten Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages nennt man im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \leq x \leq 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \left(58x^2 + 10\,000x + 208\right) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7} + 7 \;,\; x \in \mathbb{R},$$

Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird für $0 \leq t \leq 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \;,\; t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei bezeichnet $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. In Abbildung 2 ist der Graph von $h$ zu sehen.

a)

(1)

Bestimmen Sie $f(3)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der Aufgabe. [2 Punkte]

pg/ml

(2)

Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Tageshöchstkonzentration größer als $80\text{ pg/ml}$ ist. [3 Punkte]

Jahre

Jahre

(3)

Bestimmen Sie rechnerisch, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach dem Modell ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an.

[Zur Kontrolle: $f'(x) = (-5{,}8x^2 - 884x + 9979{,}2) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7}$ und $x_{\max} \approx 10{,}6$.] [7 Punkte]

Jahre

pg/ml

(4)

Ermitteln Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration im Modell am stärksten sinkt. [3 Punkte]

Jahre

b)

(1)

Bestimmen Sie die lokalen Extrempunkte der Funktion $h$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. Geben Sie die Extremstellen dabei als Uhrzeiten in Stunden und Minuten an. [4 Punkte]

pg/(ml·h)

pg/(ml·h)