Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt ein Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die seitliche Ansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, heißt Trägerkonstruktion. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000} x^3 - \frac{67}{1000} x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 1 cm am Brückenmodell. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung außer Acht.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

a)

(1) Bestimmen Sie die Nullstelle $x_n$ der Funktion.

[Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist $x_n \approx 22{,}44$.]

(2) Bestimmen Sie rechnerisch den größten senkrechten Abstand der oberen Randlinie von der unteren Horizontalen.

b)

Ermitteln Sie sowohl die Stelle, an der die obere Randlinie am stärksten ansteigt, als auch die Stelle, an der sie am stärksten abfällt.

c)

(1) Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_1$ trifft in einer Höhe von $3\text{ cm}$ auf die obere Randlinie und ist dort mit ihr verbunden.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle diese Verbindung liegt.

(2) Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_2$ liegt auf einer Geraden, die die $x$-Achse im Punkt $P_1(6\mid 0)$ unter einem Winkel von 45 Grad schneidet.

Ermitteln Sie rechnerisch den Punkt, in dem diese Strebe die obere Randlinie erreicht.

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen. Für $2 \le x \le 19$ wird sein Verlauf durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot (x-2)\cdot (x-19)\cdot (x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschrieben.

e)

Bestimmen Sie für das Intervall $[2; 19]$ den kleinsten und den größten senkrechten Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem Bogen, den $g$ beschreibt.