Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dazu dient für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208) \cdot e^{-0{,}1x - 5{,}7} + 7 \, \quad x \in \mathbb{R},$$ als Modell. Hierbei beschreibt $x$ das Alter in Jahren und $f(x)$ die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Für $x = 0$ ist der Zeitpunkt der Geburt gemeint. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

Teilaufgabe a)

(3)

Bestimmen Sie, wie groß die durchschnittliche Änderungsrate der Tageshöchstkonzentration zwischen dem 20. und dem 40. Lebensjahr ist.

(4)

Bestimmen Sie rechnerisch, bei welchem Alter die Tageshöchstkonzentration nach der Modellierung ihr Maximum erreicht, und geben Sie diesen Maximalwert an.

[Zur Kontrolle: $f'(x) = (-5{,}8x^2 - 884x + 9979{,}2) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7}$ und $x_{\max} \approx 10{,}6$.]

(5)

Ermitteln Sie, in welchem Alter die Tageshöchstkonzentration laut Modellierung am stärksten sinkt.

Teilaufgabe b)

(1)

Bestimmen Sie die lokalen Extrempunkte der Funktion $h$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. Geben Sie die Extremstellen hierbei als Uhrzeiten mit Stunden und Minuten an.

(2)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration im Intervall $[0; 8]$ bei $t = 4$ maximal ist.