Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

a) (2)

Bestimmen Sie rechnerisch, wie groß der vertikale Abstand zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen höchstens ist.

b)

Ermitteln Sie, an welcher Stelle die obere Randlinie am stärksten ansteigt und an welcher Stelle sie am stärksten fällt.

e)

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen. Für $2 \le x \le 19$ wird sein Verlauf durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500} \cdot (x-2) \cdot (x-19) \cdot (x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschrieben.

Bestimmen Sie für das Intervall $[2; 19]$ sowohl den kleinsten als auch den größten vertikalen Abstand zwischen der oberen Randlinie und dem Bogen, den $g$ beschreibt.