Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Die Funktionen $f$ und $t$ sind durch die folgenden Gleichungen festgelegt:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$ und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt, wie sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\mathrm{d}x$ ermitteln lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 1{,}563\text{ FE},\quad A_2 \approx 3{,}563\text{ FE},$

$A_4 \approx 2{,}688\text{ FE},\quad A_5 \approx 1{,}313\text{ FE},\quad A_6 \approx 0{,}313\text{ FE}.$

a)

(1) Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Wendepunktes $W$ am Graphen von $f$.

$W($ $\mid$ $)$

(2) (i) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ im Wendepunkt $W(4 \mid f(4))$ die Tangente an den Graphen von $f$ darstellt.

(ii) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $t$ in Abbildung 1 ein.

d)

In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x) = t(x) \cdot e^{-\frac{1}{4}x}, x \in \mathbb{R}$, dargestellt. Für jede reelle Zahl $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$ ist durch die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid g(u))$ ein Dreieck $PQ_uR_u$ gegeben.

(1) Als Beispiel ist in Abbildung 4 das Dreieck $PQ_3R_3$ ($u = 3$) eingezeichnet. Weisen Sie nach, dass für den Flächeninhalt $A(3)$ des Dreiecks $PQ_3R_3$ gilt: $A(3) \approx 2{,}48\text{ FE}$.

(2) Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ eines Dreiecks $PQ_uR_u$ folgender Gleichung genügt:$$A(u) = \left(-\frac{3}{4}u^2 + 4u\right) \cdot e^{-\frac{1}{4}u}$$

(3) Ermitteln Sie gerundet auf drei Nachkommastellen diejenigen Werte von $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$, für die die zugehörigen Dreiecke $PQ_uR_u$ den Flächeninhalt $2\text{ FE}$ besitzen.

$u_1 \approx$, $u_2 \approx$

(4) Ermitteln Sie rechnerisch den Wert von $u$ mit $0 < u < \frac{16}{3}$, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.

$u \approx$