Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie Abbildung 2 sie zeigt, wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt in der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

a) (1)

Bestimmen Sie den Wert der Nullstelle $x_n$.

[Zur Überprüfung: Auf zwei Nachkommastellen gerundet gilt $x_n \approx 22{,}44$.]

c) (1)

Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_1$ trifft in einer Höhe von $3\text{ cm}$ auf die obere Randlinie und ist dort mit ihr verbunden.

Ermitteln Sie, an welcher Stelle diese Verbindung liegt.

c) (2)

Die in Abbildung 3 dargestellte Strebe $S_2$ liegt auf einer Geraden, welche die $x$-Achse im Punkt $P_1(6|0)$ unter einem Winkel von $45^\circ$ schneidet.

Ermitteln Sie rechnerisch, in welchem Punkt diese Strebe die obere Randlinie erreicht.

$P_2($

$|$

$)$