Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Auf einer Plattform im Landschaftspark Hoheward steht eine Sonnenuhr, die einem antiken Vorbild nachempfunden ist. Als „Zeiger“ fungiert der Schatten eines Obelisken (siehe Abbildung 1).

Der Obelisk setzt sich aus einem Pyramidenstumpf und einer darauf sitzenden kleineren Pyramide zusammen. Die auf dem Foto sichtbare Kugel über der Spitze sowie der Sockel bleiben im Weiteren unberücksichtigt.

Im Modell steht der Obelisk demnach unmittelbar auf der Plattform.

Für die Modellierung des Obelisken wird ein Koordinatensystem verwendet, in dem die quadratische Grundfläche des Pyramidenstumpfs in der $x_1x_2$-Ebene liegt und die $x_2$-Achse nach Norden weist (siehe Abbildung 2).

Jede Längeneinheit des Koordinatensystems steht für einen Meter in der Wirklichkeit.

Zur Grundfläche des Pyramidenstumpfs gehören als Eckpunkte $A_1(0{,}44|0{,}44|0)$ und $A_2(-0{,}44|0{,}44|0)$.

Die Punkte $B_1(0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_2(-0{,}32|0{,}32|7{,}25)$, $B_3(-0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$, $B_4(0{,}32|-0{,}32|7{,}25)$ sind die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfs.

Zugleich bildet diese Deckfläche die Grundfläche der aufgesetzten kleinen Pyramide, die im Weiteren kurz Pyramide genannt wird.

Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $C(0|0|8)$.

c) Die Punkte $A_1$, $A_2$, $B_1$ und $B_2$ befinden sich in einer gemeinsamen Ebene $E$.

(1)

Ermitteln Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Parameterform.

(2)

Auf der Plattform ist eine Markierung entlang der Geraden $m$ angebracht mit$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$$Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden $m$ mit der Ebene $E$.

d) Steht die Sonne exakt im Süden, verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors $\vec{h} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, h \in \mathbb{R}, h > 0$. Der Wert des Parameters $h$ hängt dabei von der Jahreszeit ab. Der Schattenpunkt der Pyramidenspitze liegt nur dann sichtbar auf dem Boden, wenn die Sonne nicht zu hoch steht.

Für hinreichend kleine Werte von $h$ liegt der Schattenpunkt der Spitze auf einer Geraden der Schar $g_h$ mit$$g_h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -h \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}, h \in \mathbb{R}, h > 0.$$

(1)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $h$ der Schattenpunkt der Spitze auf dem Boden sichtbar ist.

[Hinweis: Die Ausmaße der Plattform können außer Acht gelassen werden.]

Am 22. September 2021 dauern Tag und Nacht gleich lang.

Über den ganzen Tag bewegt sich der Schattenpunkt der Spitze geradlinig von Westen nach Osten, also parallel zur $x_1$-Achse.

Zur Mittagszeit steht die Sonne an diesem Tag exakt im Süden und erscheint unter einem Winkel von $38{,}4^\circ$ über der Plattform der Sonnenuhr. Dies entspricht näherungsweise $h = 0{,}79$.

(2)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Schattenpunktes zu dieser Zeit und geben Sie eine Gleichung in Parameterform für die Gerade an, auf der sich der Schattenpunkt der Spitze am 22. September 2021 bewegt.