Exercício 12.2 - Teorema de Bolzano-Cauchy · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2025

Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta de equação y = 3x + 4 em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo ]0, 1[.

Resposta: Equacionar o problema: $f(x) = 3x + 4 \iff f(x) - 3x - 4 = 0$. Considerar a função $g$ definida por $g(x) = f(x) - 3x - 4 = 3e^x - 2e^{-x} - 3x - 4$. A função $g$ é contínua em $[0, 1]$ porque resulta da soma e diferença de funções contínuas (funções exponenciais e polinomiais). Calculando os valores nos extremos: $g(0) = f(0) - 3(0) - 4 = 1 - 4 = -3 < 0$ $g(1) = f(1) - 3(1) - 4 = 3e - \frac{2}{e} - 7 > 0$ (visto que $3e - \frac{2}{e} - 7 \approx 3(2{,}718) - 0{,}736 - 7 \approx 0{,}418 > 0$). Como $g$ é contínua em $[0, 1]$ e $g(0) \times g(1) < 0$, pelo teorema de Bolzano-Cauchy existe pelo menos um $c \in ]0, 1[$ tal que $g(c) = 0$, ou seja, $f(c) = 3c + 4$.