Exercício 8 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2025

8. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número

$$z = \frac{5ai^{15}}{1 - 2i} + \sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{4}}, \quad \text{com } a \in \mathbb{R}$$ Sabe-se que $\text{Im}(z) - \text{Re}(z) = 1$.

Determine $z$ na forma trigonométrica.