Exercício 9 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2025

9. Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência centrada na origem e de raio $1$, o triângulo $[ABC]$ e a reta de equação $x = 1$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence à circunferência;

o ponto $B$ pertence à reta de equação $x = 1$;

o ponto $O$ pertence à reta $AB$;

$\alpha$ é a inclinação, em radianos, da reta $AB$ $\left(\alpha \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[\right)$;

o ponto $C$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

a reta $AC$ é paralela ao eixo $Ox$.

Mostre que a área do triângulo $[ABC]$ é dada, em função de $\alpha$, por

$$\frac{2\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}(2\alpha)}{4}$$