Exame Nacional Matemática A 2025 · Época especial

1. Seja $(u_n)$ uma sucessão tal que $\lim u_n = 0$.

Qual das expressões seguintes pode ser termo geral de $(u_n)$?

2. Seja $(a_n)$ a progressão aritmética, de termos positivos, tal que $a_{10} - a_4 = 3$ e $a_4 \times a_{10} = 40$.

Sabe-se que $173$ é termo da sucessão $(a_n)$.

Determine a ordem desse termo.

Seja $f$ a função, de domínio $]-\infty, 1[$, definida por $f(x) = 2x + 3 + \ln\left((1 - x)^3\right)$, e seja $g$ a função, de domínio $]-\infty, 1[$, definida por $g(x) = \frac{f(x)}{x - 1}$.

Resolva os itens 3.1., 3.2. e 3.3. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

3.1. Estude a função $f$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e o(s) valor(es) de $x$ em que a função $f$ tem extremo(s) relativo(s).

a)

b)

Seja $f$ a função, de domínio $]-\infty, 1[$, definida por $f(x) = 2x + 3 + \ln\left((1 - x)^3\right)$, e seja $g$ a função, de domínio $]-\infty, 1[$, definida por $g(x) = \frac{f(x)}{x - 1}$.

Resolva os itens 3.1., 3.2. e 3.3. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

3.2. Estude a função $g$ quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados e, caso existam, escreva uma equação de cada assíntota.

a)

b)

c)

Seja $f$ a função, de domínio $]-\infty, 1[$, definida por $f(x) = 2x + 3 + \ln\left((1 - x)^3\right)$, e seja $g$ a função, de domínio $]-\infty, 1[$, definida por $g(x) = \frac{f(x)}{x - 1}$.

Resolva os itens 3.1., 3.2. e 3.3. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

3.3. Mostre que a equação $f(x) = g(0)$ é possível no intervalo $]-6, -5[$.

4. Na Figura 1, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, o retângulo $[OABC]$ e os segmentos de reta $[CD]$ e $[DB]$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence ao semieixo positivo $Ox$;

o ponto $C$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

o ponto $D$ pertence ao segmento de reta $[OA]$;

$\overline{OC} = 8$ e $\overline{OA} = 15$;

$\vec{DC} \cdot \vec{DB} = 50$;

$\overline{OD} < \overline{DA}$.

Determine as coordenadas do ponto $D$.

$D($ $, 0)$

5. A Maria tem um plano de treinos de corrida. Em cada treino, utiliza uma aplicação que regista a distância percorrida e a energia gasta.

No diagrama de dispersão da Figura 2, apresentam-se os valores registados em alguns desses treinos, sendo $x$ a distância percorrida, em quilómetros, e $y$ a correspondente energia gasta, em quilocalorias.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados no diagrama de dispersão.

Escreva, na folha de respostas, apenas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção, a), b) ou c), selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

Nos treinos cujos registos se apresentam, a Maria percorreu, em média, cerca de quilómetros por treino (valor arredondado às décimas). Neste conjunto de treinos, a mediana das quilocalorias gastas foi.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$ obtido a partir dos dados representados no diagrama, verifica-se uma correlação entre a distância percorrida e as quilocalorias gastas por treino. Com base nesse modelo e utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, estima-se que a Maria, num treino em que percorra 6 quilómetros, gaste, aproximadamente, quilocalorias (valor arredondado às unidades).

I · II · III · IV

a) 7,5 · a) 506 · a) negativa forte · a) 408

b) 7,7 · b) 515 · b) positiva fraca · b) 411

c) 9,4 · c) 630 · c) positiva forte · c) 415

Na Figura 3, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma reto de bases quadradas $[ABCDEFGH]$.

Sabe-se que:

a base $[ABCD]$ está contida no plano de equação $x = 3$;

o vértice $F$ tem coordenadas $(-9, 0, 2)$;

o plano $CDE$ é definido pela equação $5y + 2z - 62 = 0$.

6.1.

Em qual das opções seguintes se apresentam as coordenadas de um ponto pertencente à reta $CD$?

()

6.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine o volume do prisma $[ABCDEFGH]$.

O paracetamol é um fármaco indicado quer para aliviar as dores leves e moderadas, quer para controlar a febre.

Admita que a concentração de paracetamol, em miligramas por litro de sangue, $t$ horas após a administração de uma determinada dose terapêutica de paracetamol, é dada, aproximadamente, por

$$C(t) = 125(e^{-0{,}2t} - e^{-t}), \text{ com } t > 0$$

Admita ainda que, para produzir efeito terapêutico significativo, a concentração de paracetamol tem de ser superior a 15 miligramas por litro de sangue.

Determine, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo, após a administração da referida dose terapêutica, o paracetamol produz efeito terapêutico significativo.

Apresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma condição que lhe permita resolver o problema;

represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) para a resolução da condição;

apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s) arredondada(s) às milésimas.

a)

b)

c)

d)

Tempo: h min

Numa assembleia de alunos de uma escola secundária, estão presentes alunos de vários anos de escolaridade. Dos alunos presentes, $25$ são do $12.^\text{o}$ ano e, destes, $10$ frequentam a disciplina de Matemática A.

8.1. Seleciona-se, ao acaso, um aluno presente na assembleia.

Sabe-se que a probabilidade de esse aluno não ser do 12.º ano ou não frequentar a disciplina de Matemática A é igual a $\frac{9}{11}$.

Determine o número de alunos presentes na assembleia.

Numa assembleia de alunos de uma escola secundária, estão presentes alunos de vários anos de escolaridade. Dos alunos presentes, $25$ são do $12.^\text{o}$ ano e, destes, $10$ frequentam a disciplina de Matemática A.

8.2. Dos alunos do 12.º ano presentes, vão ser selecionados três alunos, ao acaso, para integrarem a mesa da assembleia.

Qual é a probabilidade de, pelo menos, um desses alunos frequentar a disciplina de Matemática A?

9. Relativamente aos alunos do 11.º ano de uma escola, sabe-se que:

o número de alunos que frequentam a disciplina de Filosofia é o dobro do número de alunos que frequentam a disciplina de Economia A;

o número de alunos que frequentam, pelo menos, uma dessas disciplinas é o triplo do número de alunos que frequentam as duas disciplinas.

Seleciona-se, ao acaso, um aluno do 11.º ano dessa escola.

Determine a probabilidade de esse aluno não frequentar a disciplina de Economia A, sabendo-se que frequenta a disciplina de Filosofia.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

10. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere as funções $f$ e $g$, de domínio $]0, \pi[$, definidas, respetivamente, por

$$f(x) = \operatorname{sen}^3 x \quad \text{e por} \quad g(x) = \operatorname{sen} x \cos^2 x$$

Determine as coordenadas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções $f$ e $g$.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

Considere uma função, $f$, de domínio $\mathbb{R}$, duas vezes diferenciável, e a função $f''$, segunda derivada da função $f$.

Sabe-se que:

$f''(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{4}$;

a função $f''$ tem exatamente dois zeros: $\frac{3}{4}$ e $3$;

as retas $r$ e $s$ são tangentes ao gráfico da função $f$ nos pontos de abcissas $-2$ e $-1$, respetivamente.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função $f$ tem dois pontos de inflexão, de abcissas $\frac{3}{4}$ e $3$.

II. O declive da reta $r$ é menor do que o declive da reta $s$.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

Seja $w$ um número complexo, de argumento $\theta$, com $\theta \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$.

Qual das expressões seguintes é um argumento de $\frac{i^{23} \times w^2}{\overline{w}}$?

()

Seja $w$ um número complexo, de argumento $\theta$, com $\theta \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Sabe-se que o número complexo $w$ é uma das soluções da equação $$(1-i)z^3 - 8\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} = 0$$

Determine $w$.

Apresente o resultado na forma $a + bi$, com $a, b \in \mathbb{R}$.

Seja $f$ uma função, de domínio $\mathbb{R}$, positiva e duas vezes diferenciável, cujo gráfico tem concavidade voltada para cima e cuja primeira derivada não se anula.

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $g(x) = [f(x)]^2$.

Estude a função $g$ quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico.