Exercício 11 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2025

11. Numa certa região, foi localizado um enxame de gafanhotos.

Admita que o número, $G$, em milhões, de gafanhotos do enxame, $x$ semanas após as zero horas do dia em que este foi localizado, é dado, aproximadamente, por

$$G(x) = 0{,}9e^{-0{,}6x}(x + 0{,}5)^3, \quad \text{com } x \ge 0$$ De acordo com o modelo, existe um único instante a partir do qual, passadas quatro semanas, o número de gafanhotos ficou reduzido a metade do número de gafanhotos existentes nesse instante.

Determine, recorrendo à calculadora, quantos dias decorreram desde as zero horas do dia em que o enxame foi localizado até esse instante.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) que lhe permitem resolver a equação;

apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.

a)

b)

c)