Exercício 13 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2025

13. Na Figura 4, apresentam-se as quatro primeiras composições geométricas da construção do Tapete de Sierpiński.

Tal como a figura sugere, nesta construção:

a $1.^{\text{a}}$ composição é um quadrado;

a $2.^{\text{a}}$ composição, com $8$ quadrados, obtém-se decompondo a $1.^{\text{a}}$ em $9$ quadrados iguais e removendo o quadrado central;

cada uma das composições seguintes obtém-se decompondo cada um dos quadrados obtidos na composição anterior em $9$ quadrados iguais e removendo os quadrados centrais.

Admita que, fixada uma unidade de medida, o quadrado inicial tem área igual a $9$ e que se continuava a construção, de acordo com o procedimento descrito, até se obter a $50.^{\text{a}}$ composição.

Determine a área da $50.^{\text{a}}$ composição, ou seja, a área total dos quadrados que formam essa composição.

Apresente o valor pedido arredondado às milésimas.