Exercício 13 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2025

Justifique que a proposição I é falsa: «A função f é contínua em x = 1.»

Resposta: Se a reta de equação $x = 1$ é assíntota ao gráfico da função $f$, pelo menos um dos limites laterais de $f$ em $x = 1$ é $+\infty$ ou $-\infty$, sendo, por isso, diferente de $f(1)$, pelo que $f$ não pode ser contínua em $x = 1$.

Justifique que a proposição II é falsa: «A reta de equação y = -x + 2 é tangente ao gráfico da função f num ponto de abcissa diferente de 1.»

Resposta: Como a função $f$ é crescente em $]-\infty, 1[$ e em $]1, +\infty[$, a sua derivada, nos pontos em que existe, é não negativa ($f'(x) \ge 0$). Assim, o declive de qualquer reta tangente ao gráfico da função $f$ num ponto de abcissa diferente de $1$, por ser igual à derivada da função na abcissa do ponto de tangência, não pode ser negativo. Como a reta de equação $y = -x + 2$ tem declive $-1 < 0$, não pode ser tangente ao gráfico de $f$.