Exame Nacional Matemática A 2025 · 1.ª fase

1. Qual é o limite da sucessão de termo geral $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3n}$ ?

Seja $g$ a função, de domínio $]-\infty, \pi]$, definida por

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen} x}{1 - \sqrt{1 - x}} & \text{se } x < 0 \\[2ex] 2\operatorname{sen}^2 x - \sqrt{3}\,x + 2 & \text{se } 0 \le x \le \pi \end{cases}$$

Resolva os itens 2.1. e 2.2. sem recorrer à calculadora.

2.1. Averigue se a função $g$ é contínua em $x = 0$.

Resolva este item sem recorrer à calculadora. Apresente o desenvolvimento completo da resolução.

Seja $g$ a função, de domínio $]-\infty, \pi]$, definida por

$$g(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen} x}{1 - \sqrt{1 - x}} & \text{se } x < 0 \\[2ex] 2\operatorname{sen}^2 x - \sqrt{3}\,x + 2 & \text{se } 0 \le x \le \pi \end{cases}$$

Resolva os itens 2.1. e 2.2. sem recorrer à calculadora.

2.2. Estude, no intervalo $]0, \pi]$, a função $g$ quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e os valores de $x$ para os quais a função $g$ tem extremos relativos. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

3. O produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento de uma dada linha do triângulo de Pascal é $625$.

Qual é o quinto elemento da linha anterior?

4. Uma academia de dança oferece as modalidades de ballet clássico e de dança contemporânea, entre outras.

Relativamente aos alunos que frequentam a academia, sabe-se que:

60% estão inscritos em ballet clássico;

25% estão inscritos em dança contemporânea e não estão inscritos em ballet clássico;

metade dos inscritos em dança contemporânea também estão inscritos em ballet clássico.

Selecionou-se, ao acaso, um aluno da academia que não está inscrito em dança contemporânea.

Determine a probabilidade de esse aluno estar inscrito em ballet clássico.

Apresente o resultado na forma de dízima.

5. Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao diâmetro biparietal, $x$, em centímetros, medido na trigésima quarta semana de gravidez, e ao correspondente perímetro cefálico, $y$, em centímetros, medido à nascença, de uma amostra de oito recém-nascidos numa maternidade.

Diâmetro biparietal

em cm

($x$) · Perímetro cefálico

em cm

($y$)

7,49 · 30,36

7,81 · 31,99

8,21 · 33,66

8,30 · 35,26

8,66 · 35,51

8,76 · 34,86

9,04 · 35,30

9,24 · 37,63

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

A mediana dos diâmetros biparietais apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em cm.

A amplitude da amostra dos perímetros cefálicos apresentados é cm.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis $x$ e $y$, apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de $y$ em função de $x$, e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, para um recém-nascido, nesta maternidade, cujo diâmetro biparietal na trigésima quarta semana de gravidez tenha sido $8{,}50\text{ cm}$, estima-se que o perímetro cefálico à nascença seja, aproximadamente, cm.

6. O código de um cartão multibanco é uma sequência de quatro algarismos, como, por exemplo, $1526$ e $0232$.

Admita que o código de qualquer cartão multibanco é atribuído ao acaso, com algarismos de $0$ a $9$.

Determine a probabilidade de o código atribuído a um cartão multibanco ter todos os algarismos diferentes, um dos algarismos ser o zero e a soma dos quatro algarismos ser um número ímpar.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

7. Na Figura 1, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência de centro $C$, definida pela equação $(x+1)^2+(y-1)^2=4$, o triângulo $[ABC]$ e o ângulo $BAC$, de amplitude $\alpha$, em radianos, com $\alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$.

Sabe-se que:

os pontos $A$ e $B$ pertencem à circunferência;

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6$.

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor exato do comprimento do arco $AB$.

8. Na Figura 2, estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos.

Sabe-se que:

os pontos $A$ e $C$ pertencem, respetivamente, ao 2.º e ao 3.º quadrantes;

o ponto $B$ pertence ao semieixo real negativo;

o ponto $D$ pertence ao semieixo imaginário negativo;

o ponto $W$ pertence ao 1.º quadrante e é o afixo de um número complexo $w$ tal que $\text{Im}(w) = \text{Re}(w)$.

Qual dos pontos seguintes pode ser o afixo do número complexo $iw^3$?

()

9. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, os números $z_1 = 2i^{19}$ e $z_2 = \frac{-3+i}{1+i}$.

Seja $w = -\sqrt{2}\,k\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$, com $k \in \mathbb{R}$.

Determine o valor de $k$ para o qual o afixo de $w$ é equidistante do afixo de $z_1$ e do afixo de $z_2$.

10. Na Figura 3, está representado, em referencial o.n. $Oxyz$, o prisma triangular $[ABCDEF]$.

Sabe-se que:

os pontos $A$ e $B$ têm coordenadas $(4, 2, 0)$ e $(2, 3, -3)$, respetivamente;

o ponto $C$ pertence ao plano mediador do segmento de reta $[AB]$;

a reta $DF$ é definida pela equação vetorial $(x, y, z) = (-7, 4, 2) + k(1, 1, -5),\ k \in \mathbb{R}$.

10.1.

Qual das equações seguintes define uma reta perpendicular à reta $DF$ e que passa no ponto $A$?

10.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine as coordenadas do ponto $C$.

11. Numa certa região, foi localizado um enxame de gafanhotos.

Admita que o número, $G$, em milhões, de gafanhotos do enxame, $x$ semanas após as zero horas do dia em que este foi localizado, é dado, aproximadamente, por

$$G(x) = 0{,}9e^{-0{,}6x}(x + 0{,}5)^3, \quad \text{com } x \ge 0$$ De acordo com o modelo, existe um único instante a partir do qual, passadas quatro semanas, o número de gafanhotos ficou reduzido a metade do número de gafanhotos existentes nesse instante.

Determine, recorrendo à calculadora, quantos dias decorreram desde as zero horas do dia em que o enxame foi localizado até esse instante.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) que lhe permitem resolver a equação;

apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.

a)

b)

c)

12. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = 3e^x - 2e^{-x}$$

Resolva os itens 12.1. e 12.2. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

12.1. Considere, em referencial o.n. $Oxy$, a representação gráfica da função $f$ e o trapézio $[OCAB]$, tais que:

o ponto $A$ é o ponto de intersecção do gráfico da função $f$ com a reta de equação $y = 5$;

o ponto $B$ pertence ao gráfico da função $f$ e ao eixo $Oy$;

o ponto $C$ pertence ao eixo $Ox$ e tem abcissa igual à abcissa do ponto $A$.

Determine a área do trapézio $[OCAB]$.

Apresente o resultado na forma $\ln(a)$, com $a > 0$.

12. Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = 3e^x - 2e^{-x}$$

Resolva os itens 12.1. e 12.2. sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

12.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função $f$ intersecta a reta de equação $y = 3x + 4$ em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $]0, 1[$.

13. Considere uma função, $f$, de domínio $\mathbb{R}$, diferenciável em $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Sabe-se que:

a função $f$ é crescente em $]-\infty, 1[$ e em $]1, +\infty[$;

a reta de equação $x = 1$ é assíntota ao gráfico da função $f$.

Considere as proposições seguintes.

I. A função $f$ é contínua em $x = 1$.

II. A reta de equação $y = -x + 2$ é tangente ao gráfico da função $f$ num ponto de abcissa diferente de $1$.

Justifique que as proposições I e II são falsas.

Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

I.

II.

Considere uma sucessão de composições geométricas, construídas a partir de um semicírculo de raio $1$.

Na Figura 4, estão representadas as três primeiras composições dessa sucessão.

Tal como é ilustrado na Figura 4:

a $1.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se ao semicírculo inicial um semicírculo nele contido, de raio $\frac{1}{2}$;

a $2.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se à $1.^{\text{a}}$ composição um semicírculo nela contido, de raio $\frac{1}{4}$;

a $3.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se à $2.^{\text{a}}$ composição um semicírculo nela contido, de raio $\frac{1}{8}$;

e assim sucessivamente, retirando-se, em cada composição, um semicírculo contido na composição anterior, com metade do raio do semicírculo retirado nessa composição, de modo que o diâmetro de cada semicírculo retirado seja colinear com o diâmetro do semicírculo inicial.

Determine o perímetro da $20.^{\text{a}}$ composição geométrica desta sucessão.

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Sejam $a$, $b$ e $c$ números reais não nulos, e seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = ax^3 + bx + c$$

Seja $r$ uma reta que intersecta o gráfico da função $f$ no ponto de abcissa zero.

Mostre que, se a reta $r$ intersectar o gráfico da função $f$ noutros dois pontos distintos, então esses pontos têm abcissas simétricas.