Exame Nacional Matemática A 2025 · 2.ª fase

Qual é o limite da sucessão de termo geral $u_n = \dfrac{2n + 4}{3n + 5}$ ?

()

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados referentes à produção de pera e de maçã, em quilogramas por hectare (kg/ha), em cada ano, de 2019 a 2023, em Portugal continental.

Ano

2019

2020

2021

2022

2023

Pera (kg/ha)

17 530

11 565

20 208

12 197

10 929

Maçã (kg/ha)

26 067

20 087

26 644

21 330

21 072

Fonte: Instituto Nacional de Estatística (consultado em setembro de 2024).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

A mediana dos valores da produção de maçã excede a mediana dos valores da produção de pera em

kg/ha.

De 2020 para 2021, a produção de maçã teve um aumento de, aproximadamente,

.

No que respeita à distribuição da produção de pera, houve

anos em que a produção foi inferior à soma da média com o desvio padrão.

De acordo com previsões do INE, a produção acumulada de maçã, de 2019 a 2024, seria 136 270 kg/ha, enquanto a produção acumulada de pera, no mesmo período, corresponderia a 60% da produção acumulada de maçã. De acordo com os dados da tabela e com esta previsão do INE, obtém-se para o valor da produção de pera em 2024, aproximadamente,

kg/ha.

Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^{-x}}{x} & \text{se } x < 0 \\[2ex] 1 & \text{se } x = 0 \\[2ex] \dfrac{x^2 + \ln(ex + e)}{x + 1} & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.

3.1. Averigue se a função $f$ é contínua em $x = 0$.

Apresente a justificação no campo de resposta.

Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.

Considere a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - e^{-x}}{x} & \text{se } x < 0 \\[2ex] 1 & \text{se } x = 0 \\[2ex] \dfrac{x^2 + \ln(ex + e)}{x + 1} & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

Resolva os itens 3.1. e 3.2. sem recorrer à calculadora.

3.2. Mostre que a reta de equação $y = x - 1$ é assíntota ao gráfico da função $f$ quando $x \to +\infty$.

Apresente a demonstração no campo de resposta.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

4. Determine os números reais que são solução da equação

$$\frac{1}{2} e^x \ln(4 - x)^2 - 5\ln(4 - x) = (5 - e^x)\ln(7 - 2x)$$

5. Seja $E$, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma experiência aleatória, e sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos ($A \subset E$ e $B \subset E$).

Sabe-se que:

$P(A \cap \overline{B}) = 0{,}5$;

$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}3$.

Qual é o valor de $P(B)$?

()

Uma turma do 12.º ano é constituída por $25$ alunos com $17$ ou $18$ anos de idade.

A Isabel e o José são alunos da turma e têm $17$ anos.

Sabe-se que:

$64\%$ dos alunos são rapazes;

$\dfrac{3}{4}$ dos rapazes têm $17$ anos;

$\dfrac{1}{3}$ das raparigas têm $18$ anos.

Pretende-se constituir um grupo de seis alunos selecionados, ao acaso, de entre todos os alunos da turma.

Determine a probabilidade de o grupo ser constituído pela Isabel, pelo José, por outro aluno (rapaz ou rapariga) com $17$ anos e por três alunos (rapazes ou raparigas) com $18$ anos.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

7. Na Figura 1, estão representados, no plano complexo, o triângulo $[OZW]$ e o ponto $M$.

Sabe-se que:

$\overline{OZ} = \overline{OW}$;

os pontos $Z$ e $W$ são os afixos dos números complexos $z$ e $w$, respetivamente;

um argumento de $z$, em radianos, é $\frac{2\pi}{15}$;

o ponto $M$ pertence à bissetriz do primeiro quadrante e é o ponto médio do segmento de reta $[WZ]$.

Qual dos seguintes valores é um argumento, em radianos, do número complexo $w$?

8. Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Considere, em $\mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número

$$z = \frac{5ai^{15}}{1 - 2i} + \sqrt{2}\,e^{i\frac{7\pi}{4}}, \quad \text{com } a \in \mathbb{R}$$ Sabe-se que $\text{Im}(z) - \text{Re}(z) = 1$.

Determine $z$ na forma trigonométrica.

9. Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. $Oxy$, a circunferência centrada na origem e de raio $1$, o triângulo $[ABC]$ e a reta de equação $x = 1$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ pertence à circunferência;

o ponto $B$ pertence à reta de equação $x = 1$;

o ponto $O$ pertence à reta $AB$;

$\alpha$ é a inclinação, em radianos, da reta $AB$ $\left(\alpha \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[\right)$;

o ponto $C$ pertence ao semieixo positivo $Oy$;

a reta $AC$ é paralela ao eixo $Ox$.

Mostre que a área do triângulo $[ABC]$ é dada, em função de $\alpha$, por

$$\frac{2\operatorname{sen}\alpha - \operatorname{sen}(2\alpha)}{4}$$

Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $V$.

Sabe-se que:

$\overline{AB} = \sqrt{6}$;

o centro da base da pirâmide, $M$, tem coordenadas $(2, -1, 3)$;

o ponto $V$ tem abcissa positiva;

o plano $ABC$ é definido pela equação $2x - y + z - 8 = 0$;

o volume da pirâmide é $4\sqrt{6}$.

10.1.

Qual é o valor do produto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$?

()

10.2.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Determine as coordenadas do ponto $V$.

(

,

,

)

Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $V$.

Sabe-se que:

$\overline{AB} = \sqrt{6}$;

o centro da base da pirâmide, $M$, tem coordenadas $(2, -1, 3)$;

o ponto $V$ tem abcissa positiva;

o plano $ABC$ é definido pela equação $2x - y + z - 8 = 0$;

o volume da pirâmide é $4\sqrt{6}$.

10.3. Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide $[ABCDV]$, dispondo-se, para o efeito, de seis cores distintas.

Todas as condições seguintes deverão ser respeitadas:

cada face é pintada com uma só cor;

são utilizadas, no mínimo, quatro das seis cores disponíveis;

duas faces que tenham uma aresta em comum são pintadas com cores diferentes.

A expressão seguinte representa o número total de formas possíveis de pintar as cinco faces da pirâmide respeitando as condições enunciadas.

$$^{6}C_{4} \times 2 \times 4! + {}^{6}A_{5}$$

Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.

Seja $g$ uma função diferenciável, de domínio $\mathbb{R}$, cuja derivada, $g'$, é definida por

$$g'(x) = \cos(3x) + \frac{3}{2}x + 1$$

Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.

11.1. Estude a função $g$, no intervalo $\left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função $g$ tem concavidade voltada para baixo;

o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função $g$ tem concavidade voltada para cima;

as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função $g$.

Seja $g$ uma função diferenciável, de domínio $\mathbb{R}$, cuja derivada, $g'$, é definida por

$$g'(x) = \cos(3x) + \frac{3}{2}x + 1$$

Resolva os itens 11.1. e 11.2. sem recorrer à calculadora.

11.2. Seja $r$ a reta tangente ao gráfico da função $g$ no ponto de abcissa $0$, e seja $s$ uma reta perpendicular à reta $r$.

Sabe-se que:

a reta $s$ intersecta os eixos $Ox$ e $Oy$ nos pontos $A$ e $B$, respetivamente;

o ponto $A$ tem abcissa positiva;

o triângulo $[OAB]$ tem área igual a $12$.

Determine a abcissa do ponto $A$.

12. Admita que, de acordo com um estudo de mercado realizado pela Biclatour, empresa de fabrico de bicicletas, o número de unidades das bicicletas Ciclatour que se prevê vender, em função do preço, $p$, em centenas de euros, de cada unidade, é dado, aproximadamente, por

$$N(p) = 4000 \times \text{e}^{-0,34p} - 1,12p + 50, \quad \text{com } 2 \le p \le 10$$

De acordo com este modelo, sabe-se que existe um único preço para o qual o valor total que se prevê obter com a venda das bicicletas Ciclatour é igual a $4000$ centenas de euros.

Determine esse preço, recorrendo à calculadora.

Apresente o resultado em euros, arredondado às unidades.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s) que lhe permitem resolver a equação;

apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), arredondada(s) às centésimas.

euros

13. Na Figura 4, apresentam-se as quatro primeiras composições geométricas da construção do Tapete de Sierpiński.

Tal como a figura sugere, nesta construção:

a $1.^{\text{a}}$ composição é um quadrado;

a $2.^{\text{a}}$ composição, com $8$ quadrados, obtém-se decompondo a $1.^{\text{a}}$ em $9$ quadrados iguais e removendo o quadrado central;

cada uma das composições seguintes obtém-se decompondo cada um dos quadrados obtidos na composição anterior em $9$ quadrados iguais e removendo os quadrados centrais.

Admita que, fixada uma unidade de medida, o quadrado inicial tem área igual a $9$ e que se continuava a construção, de acordo com o procedimento descrito, até se obter a $50.^{\text{a}}$ composição.

Determine a área da $50.^{\text{a}}$ composição, ou seja, a área total dos quadrados que formam essa composição.

Apresente o valor pedido arredondado às milésimas.

14. Seja $a$ um número real positivo, e seja $h$ uma função contínua de domínio $[0, a]$ e contradomínio $[0, a]$.

Prove que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função $h$ que pertence à bissetriz do primeiro quadrante.