Exercício 10.3 · Exame Nacional Matemática A 2.ª fase 2025

Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. $Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $V$.

Sabe-se que:

$\overline{AB} = \sqrt{6}$;

o centro da base da pirâmide, $M$, tem coordenadas $(2, -1, 3)$;

o ponto $V$ tem abcissa positiva;

o plano $ABC$ é definido pela equação $2x - y + z - 8 = 0$;

o volume da pirâmide é $4\sqrt{6}$.

10.3. Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide $[ABCDV]$, dispondo-se, para o efeito, de seis cores distintas.

Todas as condições seguintes deverão ser respeitadas:

cada face é pintada com uma só cor;

são utilizadas, no mínimo, quatro das seis cores disponíveis;

duas faces que tenham uma aresta em comum são pintadas com cores diferentes.

A expressão seguinte representa o número total de formas possíveis de pintar as cinco faces da pirâmide respeitando as condições enunciadas.

$$^{6}C_{4} \times 2 \times 4! + {}^{6}A_{5}$$

Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.