Exercício 14 · Exame Nacional Matemática A 1.ª fase 2025

Considere uma sucessão de composições geométricas, construídas a partir de um semicírculo de raio $1$.

Na Figura 4, estão representadas as três primeiras composições dessa sucessão.

Tal como é ilustrado na Figura 4:

a $1.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se ao semicírculo inicial um semicírculo nele contido, de raio $\frac{1}{2}$;

a $2.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se à $1.^{\text{a}}$ composição um semicírculo nela contido, de raio $\frac{1}{4}$;

a $3.^{\text{a}}$ composição foi obtida retirando-se à $2.^{\text{a}}$ composição um semicírculo nela contido, de raio $\frac{1}{8}$;

e assim sucessivamente, retirando-se, em cada composição, um semicírculo contido na composição anterior, com metade do raio do semicírculo retirado nessa composição, de modo que o diâmetro de cada semicírculo retirado seja colinear com o diâmetro do semicírculo inicial.

Determine o perímetro da $20.^{\text{a}}$ composição geométrica desta sucessão.

Apresente o resultado arredondado às centésimas.